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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Eigenwerte bei Integralen
Eigenwerte bei Integralen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwerte bei Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:14 Di 17.04.2007
Autor: viergewinnt

Aufgabe
Es sei V = C0 [mm] (\IR,\IR) [/mm] der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] aller stetigen Funktionen f: [mm] \IR \to \IR. [/mm] Ferner sei T [mm] \in [/mm] End(V) definiert durch

(T(f))(x) := [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}. [/mm]

Zeigen Sie, dass T keinen reellen (oder komplexen) Eigenwert hat.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Hallo!

Diese Aufgabe verwirrt mich. Eigenwerte usw. habe ich eigentlich verstanden, wüsste aber gar nich wie ich hier anfangen sollte.

Ich denke, dass es auf einen Widerspruchsbeweis hinausläuft und würde zunächst annehmen, dass es einen solchen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] gibt, sodass

T(f)= [mm] \lambda [/mm] f       gilt (Definition)

Könnte mir jemand einen Tipp geben wie ich weiter vorgehen kann? Oder geht es viel einfacher?

Freue mich über jede Antwort!!

Viele Grüße

        
Bezug
Eigenwerte bei Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:51 Di 17.04.2007
Autor: wauwau

Es müsste also gelten

[mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \lambda*f(x) [/mm]

Beide seiten abgeleitet ergibt:

f(x) = [mm] \lambda*f'(x) [/mm]

diese Diffgl. gelöst ergibt

[mm] f(x)=C*e^{\bruch{x}{\lambda}} [/mm]

T(f(x))= [mm] \lambda*C*e^{\bruch{x}{\lambda}} [/mm] - [mm] \lambda*C [/mm]

was aber nicht gleich [mm] \lambda*f(x) [/mm] ist

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte bei Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Di 17.04.2007
Autor: viergewinnt

Also erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort!!!

Leider kann ich deine Lösung nicht verwenden, da wir Diffgleichungen noch nicht behandelt haben.:-(

Gibt es vielleicht noch einen anderen Weg?

Bin dankbar für jeden Tipp!!!

Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte bei Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Di 17.04.2007
Autor: leduart

Hallo
um zu wissen, dass [mm] f'=\lambda*f [/mm] die Loesung [mm] f=e^{lambda*t} [/mm] hat braucht man keine Dgl. zu kennen.Nur die efkt und ihre Ableitung solltest du wissen!
anderer Weg : [mm] f'/f=\lambda [/mm]  daraus [mm] \integral{f(x) dx}=\integral{\lambda dx}, lnf=\lambda*x+C [/mm]  beide seiten hoch e!
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte bei Integralen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:17 Mi 18.04.2007
Autor: viergewinnt

DANKE euch für eure Hilfe!

Bezug
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