Eigenwerte ablesen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Do 17.02.2011 | | Autor: | moody |
Hallo,
es geht um die Zusammenhänge zwischen der Spur einer Matrix und der Determinante beziehungsweise den Eigenwerten.
Ich weiss das die Spur die Summe aller Eigenwerte der Matrix ist, also sind die Elemente der Spur die Eigenwerte. Desweiteren weiss ich dass das Produkt der Eigenwerte der Matrix entspricht. Also das Produkt der Spurelemente ist die Determinante einer Matrix.
Ich meine im Hinterkopf zu haben dass man dafür die Matrix in obere Dreickecksform bringen muss. Muss man das oder kann man das einfach an der Ausgangsmatrix ablesen? Habe bei meinen Recherchen im Internet / Vorlesung jetzt nichts definitives dazu gefunden. Das wurde in der Vorlesung auch nur mal am Rande so erwähnt, aber bringt ja doch eine deutliche Arbeitserleichterung mit sich.
Ich hoffe ihr könnt Licht ins dunkle bringen.
lg moody
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Hallo moody,
mir ist folgende Definition von der Spur einer quadratischen Matrix [mm] A\in\IR^{n\times n} [/mm] bekannt:
$Spur(A) [mm] =\sum_{i=1}^{n}A_{ii}$.
[/mm]
Die Spur ist also die Summe aller Einträge auf der Hauptdiagonale von links oben nach rechts unten.
> Ich weiss das die Spur die Summe aller Eigenwerte der
> Matrix ist, also sind die Elemente der Spur die Eigenwerte.
> Desweiteren weiss ich dass das Produkt der Eigenwerte der
> Determinante der Matrix entspricht.
> Also das Produkt der Spurelemente ist die Determinante der Matrix.
Gilt alles nur, wenn die Matrix obere Dreiecksgestalt hat.
>
> Ich meine im Hinterkopf zu haben dass man dafür die Matrix
> in obere Dreickecksform bringen muss. Muss man das oder
> kann man das einfach an der Ausgangsmatrix ablesen?
An der Ausgangsmatrix kannst du das nicht einfach ablesen
Problem beim Umformen in obere Dreiecksmatrix: Dabei können sich die Eigenwerte ändern.
Beispiel:
Die Eigenwerte von [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] sind die Nullstellen von [mm] X^2-X-1. [/mm] Aber ZSF [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm] hat Eigenwerte 1 und -1, die offensichtlich verschieden sind.
Eine Eigenschaft der Spur hingegen ist:
Der Koeffizient von [mm] X^{n-1} [/mm] ist gerade $-Spur(A)$, wenn das charakteristische Polynom in X ist.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Mo 21.02.2011 | | Autor: | moody |
Hey,
vielen lieben Dank für deine Antwort. Ich denke ich werde das nur zur Überprüfung verwenden und die Eigenwerte auf die alte Art und Weise berechnen.
lg moody
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