Eigenwerte Matrizenpolynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 So 11.12.2005 | | Autor: | keyzer86 |
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Sei A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] eine Matrix, deren Eigenwerte [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{n} [/mm] bekannt sind.
1. Sei [mm] f(X):=a_{0}X^{k}+a_{1}X^{k-1}+...+a_{k-1}X+a_{k} [/mm] ein Polynom und betrachten wir
[mm] f(A):=a_{0}A^{k}+a_{1}A^{k-1}+...+a_{k-1}A+a_{k} [/mm] Zeigen sie dass:
det(f(A))= [mm] \produkt_{i=1}^{n}f(\lambda_{i}).
[/mm]
2. Finden Sie die Eigenwerte der Matrix (f(A))
Bitte helft mir hab versucht irgendwas mit diagonalisierbarkeit zu machen abwer da bin ich auch nich weiter gekommen ich hoffe ihr könnt mir helfen
MfG Keyzer
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Hallo!
Zu 1.:
Benutze, dass es [mm] $x_1,\dots,x_k\in\IC$ [/mm] gibt, so dass [mm] $f(X)=\prod\limits_{j=1}^k (X-x_j)$. [/mm] Dann gilt nämlich auch [mm] $f(A)=\prod\limits_{j=1}^k(A-x_jI)$ [/mm] und es folgt
[mm] $\det f(A)=\prod\limits_{j=1}^k\det(A-x_jI)=\prod\limits_{j=1}^k\prod\limits_{i=1}^n(\lambda_i-x_j)=\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^k(\lambda_i-x_j)=\prod\limits_{i=1}^nf(\lambda_i)$...
[/mm]
Zu 2.:
Es ist relativ leicht einzusehen, dass [mm] $f(\lambda_i)$ [/mm] Eigenwerte von $f(A)$ sind. Denn wenn [mm] $Ax=\lambda_ix$, [/mm] dann ist [mm] $f(A)x=f(\lambda_i)x$.
[/mm]
Hast du eine Idee, wie du zeigen kannst, dass das auch die einzigen Eigenwerte von [mm]f(A)[/mm] sind?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Mo 12.12.2005 | | Autor: | keyzer86 |
Hi Banachella hab teilaufgabe 1 jetzt selber gelöst aber ich glaub ist trotzdem richtig hoff ich doch mal....habs allerdings sozusagen von "links nach recht" und nicht von "rechts nahch links" gemacht...(ich hoff du verstehst mich :))...
aber die Lösung für Teilaufgabe 2 kann ich gut gebrauchen danke :)
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