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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mo 30.01.2006 | | Autor: | mariposa |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IC^{m x n } [/mm] und B [mm] \in \IC^{n x m} [/mm] mit m [mm] \le [/mm] n. Zeigen Sie:
Jeder Eigenwert von AB ist auch Eigenwert von BA.
Jeder Eigenwert ungleich 0 von BA ist auch Eigenwert von AB. |
Hallo,
wir haben uns den Beweis folgendermaßen überlegt:
AB x = [mm] \lambda [/mm] x
BAB x = B [mm] \lambda [/mm] x
(BA) (Bx) = [mm] \lambda [/mm] (Bx)
Also ist [mm] \lambda [/mm] Eigenwert zu BA.
Und für die andere Richtunge genauso:
BA x = [mm] \lambda [/mm] x
ABA x = A [mm] \lambda [/mm] x
(AB) (Ax) = [mm] \lambda [/mm] (Ax)
Also ist [mm] \lambda [/mm] Eigenwert zu AB.
Aber aus der Aufgabenstellung geht ja eigentlich hervor, dass man nicht beide Richtungen gleich machen kann, irgendwo muss ja auch noch die Nichtnullbedingung mit hineinspielen, aber wir haben den Haken an der Sache nicht gefunden.
Gruß
Maike
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Hallo Maike,
bei deinem Beweis sehe ich einen Haken. Wenn Bx bzw. Ax gleich Null sind dann muß [mm] \lambda [/mm] kein Eigenwert sein. Da der entsprechende Eigenvektor ja ungleich Null sein sollte.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Maike!
Es stimmt, was Christian sagt. Man kann das im ersten Fall aber auflösen.
Mache dir mit der Dimensionsformel klar, dass
$Kern(B) [mm] \subsetneq [/mm] Kern(AB)$
gilt. Dann findest du ein $x [mm] \ne [/mm] 0$ mit $ABx=0$, aber $Bx [mm] \ne [/mm] 0$.
Das löst dann dein Problem.
(Im zweiten Fall geht das nicht, daher muss man [mm] $\lambda \ne [/mm] 0$ voraussetzen.)
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Mo 30.01.2006 | | Autor: | mariposa |
Danke
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