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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Do 10.02.2005 | | Autor: | pisty |
Hallo!
gegeben ist folgende Matrix:
A=
| -2 0 -1 |
| -1 1 1 |
| 1 0 0 |
gesucht sind die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren
also folgt: det A =(A-xI)
->
det(A)
| -2-x 0 -1 |
| -1 1-x 1 |
| 1 0 -x |
-> Eigenwerte:
x1= 1
x2= 2
um Eigenvektoren zu ermitteln setze ich
x1 in det(A) ein und erhalte:
x y z
|-3 0 -1|
|-1 0 1|
|1 0 -1|
-> von unten angefangen
-> -x-z=o ->z=1
-> -x=1 ->x=-1 => EV =[-1 0 1] ^T
bleibt ->y=0 normierter EV= 1/√2 [-1 0 1] ^T
der Lösungsvorschlag vom Lehrer sagt aber, das der EV = [0 1 0] ^T
Muss ich die Matrix erst umstellen damit ich den EV erhalte?
.....
für die 2. Nullstelle erhielt man ja x2=-1
-> -1 in det(A) eingesetzt=
x y z
|-1 0 1|
|-1 2 1|
|1 0 1|
mein EV lautet hier: [-1 0 -1] ^T
normiert lautet er: 1/√2 [-1 0 -1] ^T
laut Lösungsvorschlag ist aber ein normierter EV von
1/√3[1 1 -1] ^T angegeben ....
hier wieder das gleiche Problem ..... warum komme ich auf einen anderen Eigenvektor, oder hab ich wieder was nicht beachtet?
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halli hallo!
> gegeben ist folgende Matrix:
>
> A=
> | -2 0 -1 |
> | -1 1 1 |
> | 1 0 0 |
>
> gesucht sind die Eigenwerte und die normierten
> Eigenvektoren
>
> also folgt: det A =(A-xI)
> ->
> det(A)
> | -2-x 0 -1 |
> | -1 1-x 1 |
> | 1 0 -x |
>
> -> Eigenwerte:
> x1= 1
> x2= 2
Wie kommst du denn auf diese Eigenvektoren? Ich habe als charakteristisches Polynom das folgende: [mm] -x^3-x^2+x+1
[/mm]
Hier erhalte ich als Eigenwerte [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_{2,3}=-1
[/mm]
> um Eigenvektoren zu ermitteln setze ich
>
> x1 in det(A) ein und erhalte:
> x y z
> |-3 0 -1|
> |-1 0 1|
> |1 0 -1|
>
>
> -> von unten angefangen
> -> -x-z=o ->z=1
> -> -x=1 ->x=-1 => EV =[-1 0 1] ^T
> bleibt ->y=0 normierter EV= 1/√2 [-1 0 1] ^T
>
> der Lösungsvorschlag vom Lehrer sagt aber, das der EV = [0
> 1 0] ^T
> Muss ich die Matrix erst umstellen damit ich den EV
> erhalte?
du erhälst doch folgendes:
[mm] \pmat{-3 & 0 & -1\\-1 & 0 & 1\\1 & 0 & -1}\vektor{x\\y\\z}=0
[/mm]
die letzten beiden Zeilen sind identisch, also beschränken wir uns auf die ersten beiden und erhalten
-3x-z=0 und
-x+z=0 [mm] \gdw [/mm] z=x
die letzte eingesetzt in die erste ergibt:
-3x-x=0 [mm] \gdw [/mm] -4x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] z=0
y ist beliebig, also ergibt sich der Eigenvektor für y=1 zu
[mm] \vektor{0\\1\\0}
[/mm]
>
> .....
> für die 2. Nullstelle erhielt man ja x2=-1
ah, ok, da scheinst du dich oben verschrieben zu haben 
> -> -1 in det(A) eingesetzt=
>
> x y z
> |-1 0 1|
> |-1 2 1|
> |1 0 1|
>
> mein EV lautet hier: [-1 0 -1] ^T
> normiert lautet er: 1/√2 [-1 0 -1] ^T
>
> laut Lösungsvorschlag ist aber ein normierter EV von
> 1/√3[1 1 -1] ^T angegeben ....
> hier wieder das gleiche Problem ..... warum komme ich auf
> einen anderen Eigenvektor, oder hab ich wieder was nicht
> beachtet?
hier erhalten wir ja
[mm] \pmat{-1 & 0 & -1\\-1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1}\vektor{x\\y\\z}=0
[/mm]
Hier sind die erste und die letzte Bedingung gleich, also beschränken wir uns auf die zweite und die dritte Gleichung, also
-x+2y+z=0 und
x+z=0
addieren wir beide Gleichungen erhalten wir 2y+2z=0 [mm] \gdw [/mm] y=-z
die erste Bedingung sagt uns x=-z
für y=1 folgt also z=-1 und daraus x=1
Also bekommen wir als zweiten Eigenvektor [mm] \vektor{1\\1\\-1}
[/mm]
Du hast dich also hauptsächlich beim Lösen der Gleichungssysteme vertan! Ich hoffe ich konnte es dir einigermaßen verständlich zeigen!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:11 Fr 11.02.2005 | | Autor: | pisty |
@cremchen
>du erhälst doch folgendes:
>
>die letzten beiden Zeilen sind identisch, also beschränken wir uns auf die >ersten beiden und erhalten
>-3x-z=0 und
>-x+z=0 z=x
>die letzte eingesetzt in die erste ergibt:
>-3x-x=0 -4x=0 x=0 z=0
>y ist beliebig, also ergibt sich der Eigenvektor für y=1 zu
dass x und z gleich null seh ich jetzt auch ein,
wenn y aber beliebig ist, kann ich ihn dann nicht auch 0 setzen? oder muss der 1 sein, oder kann der auch 2 sein? oder ist das dann bei fortführendenen aufgaben (
hauptachsentransformation) nicht von bedeutung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 Fr 11.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi, ich antworte mal der Schnelligkeit wegen:
also wenn y beliebig ist, dann setzt man einfach y=t
und dann sind natürlich alle folgenden Vektoren Eigenvektoren: $ [mm] t*\vektor{0\\1\\0} [/mm] $ da du aber normieren wolltest, MUSST du t=1 setzen.
Es ist jedoch so, dass für alle t außer 0 (denn der Nullvektor ist per Definition kein Eigenvektor) dies ein entsprechender Eigenvektor wäre.
viele Grüße
DaMenge
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