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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:28 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in \IR^{3x3} [/mm] gegeben durch
A = [mm] \begin{pmatrix}
2 & 3 & 3 \\
-1/3 & -2/3 & -5/3 \\
1/3 & -1/3 & 2/3
\end{pmatrix}
[/mm]
Bestimmen Sie die Eigenwerte & dazugehörige Eigenvektoren von A. |
Hi zusammen,
ich bin hänge etwas bei der Berechnung der Eigenwerte:
det(A - [mm] \lambda [/mm] E) = 0
det(A - [mm] \lambda [/mm] E) = [mm] \begin{vmatrix}
2-\lambda & 3 & 3 \\
-1/3 & -2/3-\lambda & -5/3 \\
1/3 & -1/3 & 2/3-\lambda
\end{vmatrix}
[/mm]
Entwicklung nach 1. Zeile
[mm] (2-\lambda)*\begin{vmatrix}
-2/3-\lambda & -5/3 \\
-1/3 & 2/3-\lambda
\end{vmatrix} [/mm] - [mm] 3*\begin{vmatrix}
-1/3 & -5/3 \\
1/3 & 2/3-\lambda
\end{vmatrix} +3*\begin{vmatrix}
-1/3 & -2/3-\lambda \\
1/3 & -1/3
\end{vmatrix}
[/mm]
dann kommt das ausmultiplizieren, habe es doppelt geprüft
= -2 + [mm] \lambda [/mm] + [mm] 2\lambda^2 [/mm] - [mm] \lambda^3
[/mm]
-2 + [mm] \lambda [/mm] + [mm] 2\lambda^2 [/mm] - [mm] \lambda^3 [/mm] = 0
Hier hänge ich jetzt. In den Beispielen die ich gefunden habe wurden immer parre wie z.B. [mm] (\lambda [/mm] - [mm] 1)(\lambda [/mm] + 2) aufgestellt.
Zu meinem Ergebnis komme ich jedoch leider nicht auf solche Terme.
Habe ich etwas falsch gemacht?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich glaube die Lösung zu haben.
[mm] (\lambda+1)(\lambda-1)(\lambda-2)
[/mm]
[mm] =(\lambda^2-1)(\lambda-2)
[/mm]
[mm] =\lambda^3-2\lambda^2-\lambda+2
[/mm]
[mm] =-\lambda^3+2\lambda^2+\lambda-2
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bindl!
> [mm](\lambda+1)(\lambda-1)(\lambda-2)[/mm]
> [mm]=(\lambda^2-1)(\lambda-2)[/mm]
> [mm]=\lambda^3-2\lambda^2-\lambda+2[/mm]
> [mm]=-\lambda^3+2\lambda^2+\lambda-2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das sieht doch gut aus.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 So 05.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
jetzt möchte ich die Eigenvektoren bestimmen.
(A - [mm] \lambda [/mm] E)x = 0
für [mm] \lambda=-1:
[/mm]
(A +1E)x=0
Dann bekomme ich folgendes Gleichungssystem:
[mm] 3x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] = 0
[mm] -1/3x_1 [/mm] + [mm] 1/3x_2 [/mm] - [mm] 5/3x_3 [/mm] = 0
[mm] 1/3x_1 [/mm] - [mm] 1/3x_2 [/mm] + [mm] 5/3x_3 [/mm] = 0
Wenn ich jetzt Gleichung 2 & 3 addiere bekomme ich 0=0 und weiß nicht mehr weiter.
Ich habe das Gleichungssystem mal eingeben in einen Rechner. Der sagt das nicht eindeutig lösbar ist.
Was mache ich denn jetzt. Bzw, wie sieht denn dann mein Eigenvektor aus ?
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Hallo, dein Gleichungssystem ist korrekt aufgestellt, setze [mm] x_3=\mu, [/mm] ein frei wählbarer Parameter,
(1) [mm] 3x_1+3x_2+3x_3=0
[/mm]
(2) [mm] -\bruch{1}{3}x_1+\bruch{1}{3}x_2-\bruch{5}{3}x_3=0
[/mm]
bilde eine neue Gleichung: Gleichung (1) minus neun mal Gleichung (2)
[mm] 6x_1+18x_3=0
[/mm]
du bekommst
[mm] x_1=-3\mu
[/mm]
[mm] x_2=2\mu
[/mm]
[mm] x_3=\mu
[/mm]
jetzt sollte es nicht schwer sein, einen Eigenvektor zu finden
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Mo 06.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich hab mal was ohne [mm] x_3 [/mm] = [mm] \mu [/mm] gemacht. Ist aber glaube das gleiche.
1-9*2
[mm] 6x_1 [/mm] + [mm] 18x_3 [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] = [mm] -3x_3 [/mm] neue 4. Gleichung
4 in 1
[mm] -9x_3 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] = [mm] 2x_3 [/mm] neue 5. Gleichung
4&5 in 1 (ohne [mm] x_3 [/mm] zu schreiben)
-9 + 6 + [mm] 3x_3 [/mm] = 0
[mm] x_3 [/mm] = 1
Eigenvektor ist dann:
[mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Ist das korrekt ?
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Hallo,
> Hi,
>
> ich hab mal was ohne [mm]x_3[/mm] = [mm]\mu[/mm] gemacht. Ist aber glaube das
> gleiche.
>
> 1-9*2
> [mm]6x_1[/mm] + [mm]18x_3[/mm] = 0
> [mm]x_1[/mm] = [mm]-3x_3[/mm] neue 4. Gleichung
>
> 4 in 1
> [mm]-9x_3[/mm] + [mm]3x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] = 0
> [mm]x_2[/mm] = [mm]2x_3[/mm] neue 5. Gleichung
Hier bist du fertig mit dem Einsetzen.
Eigenvektoren haben die Gestalt [mm] $\vektor{-3x_3\\2x_3\\x_3}$ [/mm] mit beliebigem [mm] $x_3\in\IR$, [/mm] aber [mm] $x_3\neq [/mm] 0$, denn der Nullvektor ist kein Eigenvektor.
>
> 4&5 in 1 (ohne [mm]x_3[/mm] zu schreiben)
> -9 + 6 + [mm]3x_3[/mm] = 0
> [mm]x_3[/mm] = 1
>
>
EIN
> Eigenvektor ist dann:
> [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist das korrekt ?
Genau, mit der Wahl [mm] $x_3=1$
[/mm]
Steffi hat nur statt [mm] $x_3=\mu$ [/mm] geschrieben (auch $t$ ist geläufig)
Gruß
schachuzipus
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