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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 So 29.01.2006 | | Autor: | iosis |
| Aufgabe | Gegenben ist die die Abbildung [mm] \alpha: \IR^5 \to \IR^5: [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Ax, die durch folgende Matrix beschrieben wird:
A:= [mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -6 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{3}{2} & 0 & \bruch{3}{4} & \bruch{3}{4} & \bruch{3}{4} \\ \bruch{3}{2} & 0 & -\bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{4}} \in \IR^5
[/mm]
a) Bestimme das charakteristische Polynom.
b) Bestimme die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume von A.
c) Konstruiere eine Basis: Wähle einen Eigenvektor [mm] f_1 \in V(\lambda_1) [/mm] zum negativen Eigenwert [mm] \lambda_1. [/mm] Wähle nun einen Vektor [mm] f_2 [/mm] so, dass (A - [mm] \lambda_1 [/mm] ) [mm] f_2 [/mm] = [mm] f_1. [/mm] Ergänze die so gewonnenen Vektoren zu einer Basis, indem du aus den verbleibenden Eigenräumen drei linear unabhängige Vektoren [mm] f_3,f_4,f_5 [/mm] wählst. |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe bekommen und bin mir nicht sicher, wie ich den b)-Teil lösen muss. Für a) rechnen ich [mm] A-\lambda*E [/mm] und berechne daraus das charakteritische Polynom: [mm] (-2-\lambda)^2(1-\lambda)(\lambda-1)\lamda
[/mm]
Daraus folgen die Eigenwerte: [mm] \lambda_1 [/mm] = -2 , [mm] \lambda_2 [/mm] = 1 und [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
Dann muss ich doch für die Eigenräume einzeln berechnen [mm] A-\lambda_1 [/mm] E = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -6 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ -\bruch{3}{2} & 0 & \bruch{3}{4} & 2\bruch{3}{4} & \bruch{3}{4} \\ \bruch{3}{2} & 0 & -\bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} & 2\bruch{1}{4}}
[/mm]
Ist das so korrekt für [mm] \lambda_1 [/mm] = -2 ?
Nur bin ich mir jetzt nicht sicher, wie ich es weiter lösen muss:
habe noch eine Umformung gemacht, damit die Matrix wie folgt aussieht:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -6 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ \bruch{3}{2} & 0 & -\bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} & \bruch{9}{4}}
[/mm]
Nur wie gehts jetzt weiter?
Update: habe nun weiter nach Gauß gerechnet und komme nun so weit:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 3 & 0 & -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & \bruch{9}{2}}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 3 & 0 & -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & \bruch{9}{2}} (Z_3*2+Z_2^*)(Z_2^*+Z_4) [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 3 & 0 & -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & \bruch{9}{2}} (Z_5*2+Z_3*3)
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 9} (Z_2*2)
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 9} (Z_2-Z_3)(Z_4* \bruch{2}{3})
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8} (Z_5-Z_4)
[/mm]
Ich wäre für jede Hilfe dankebar!
Iosis
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Hallo iosis,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegenben ist die die Abbildung [mm]\alpha: \IR^5 \to \IR^5:[/mm] x
> [mm]\mapsto[/mm] Ax, die durch folgende Matrix beschrieben wird:
> A:= [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -6 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{3}{2} & 0 & \bruch{3}{4} & \bruch{3}{4} & \bruch{3}{4} \\ \bruch{3}{2} & 0 & -\bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{4}} \in \IR^5[/mm]
>
> a) Bestimme das charakteristische Polynom.
> b) Bestimme die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume
> von A.
> c) Konstruiere eine Basis: Wähle einen Eigenvektor [mm]f_1 \in V(\lambda_1)[/mm]
> zum negativen Eigenwert [mm]\lambda_1.[/mm] Wähle nun einen Vektor
> [mm]f_2[/mm] so, dass (A - [mm]\lambda_1[/mm] ) [mm]f_2[/mm] = [mm]f_1.[/mm] Ergänze die so
> gewonnenen Vektoren zu einer Basis, indem du aus den
> verbleibenden Eigenräumen drei linear unabhängige Vektoren
> [mm]f_3,f_4,f_5[/mm] wählst.
> Hallo,
>
> ich habe diese Aufgabe bekommen und bin mir nicht sicher,
> wie ich den b)-Teil lösen muss. Für a) rechnen ich
> [mm]A-\lambda*E[/mm] und berechne daraus das charakteritische
> Polynom: [mm](-2-\lambda)^2(1-\lambda)(\lambda-1)\lamda[/mm]
> Daraus folgen die Eigenwerte: [mm]\lambda_1[/mm] = -2 , [mm]\lambda_2[/mm] =
> 1 und [mm]\lambda_3[/mm] = 0
> Dann muss ich doch für die Eigenräume einzeln berechnen
> [mm]A-\lambda_1[/mm] E = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -6 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ -\bruch{3}{2} & 0 & \bruch{3}{4} & 2\bruch{3}{4} & \bruch{3}{4} \\ \bruch{3}{2} & 0 & -\bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} & 2\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> Ist das so korrekt für [mm]\lambda_1[/mm] = -2 ?
> Nur bin ich mir jetzt nicht sicher, wie ich es weiter
> lösen muss:
> habe noch eine Umformung gemacht, damit die Matrix wie
> folgt aussieht:
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -6 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ \bruch{3}{2} & 0 & -\bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} & \bruch{9}{4}}[/mm]
>
> Nur wie gehts jetzt weiter?
> Update: habe nun weiter nach Gauß gerechnet und komme nun
> so weit:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} & -\bruch{3}{2} \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 3 & 0 & -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & \bruch{9}{2}}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 3 & 0 & -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & \bruch{9}{2}} (Z_3*2+Z_2^*)(Z_2^*+Z_4)[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 3 & 0 & -\bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & \bruch{9}{2}} (Z_5*2+Z_3*3)[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 9} (Z_2*2)[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 9} (Z_2-Z_3)(Z_4* \bruch{2}{3})[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8} (Z_5-Z_4)[/mm]
Soweit ist das ok.
Nun kannst Du die Lösung angeben.
So machst Du das jetzt auch mit den anderen Eigenwerten.
>
> Ich wäre für jede Hilfe dankebar!
>
> Iosis
Gruß
MathePower
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