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| Aufgabe | Sei $A [mm] \in M_n(\IR)$. [/mm]
i) Es gibt $0 [mm] \not= [/mm] v [mm] \in \IR^n$ [/mm] und ein $c [mm] \in \IR$, [/mm] sodass $Av=cv$. Beweise, dass [mm] $det(A-cI_n)=0$.
[/mm]
ii) Sei $c [mm] \in \IR$, [/mm] sodass [mm] $det(A-cI_n)=0$. [/mm] Beweise, dass es einen Vektor $0 [mm] \not= [/mm] v [mm] \in \IR^n$ [/mm] gibt mit $Av=cv$. |
Hey,
Teilaufgabe ii) ist im Prinzip Teilaufgabe i), nur rückwärts.
Teilaufgabe i)
Aus $Av=cv$ folgt, dass
[mm] $Av-c*I_n*v=0=(A-cI_n)v=0$.
[/mm]
Das sagt uns, dass $v$ im Kern der linearen Abbildung [mm] $(A-cI_n)$ [/mm] liegen, muss. Da $v$ aber ungleich null ist, ist die Dimension des Kerns nicht null und die lineare Abbildung nicht invertierbar (weil nicht surjektiv). Hieraus folgt, dass die Determinante der Matrix [mm] $A-cI_n$ [/mm] null sein muss.
Teilaufgabe ii)
Da [mm] $det(A-cI_n)=0$, [/mm] wissen wir, dass die lineare Abbildung [mm] $(A-cI_n)$ [/mm] nicht invertierbar ist und demnach auch nicht surjektiv. Die Dimension des Kerns der Abbildung ist also nicht null und somit enthält der Kern (mindestens) einen Vektor ungleich null. Also:
[mm] $(A-cI_n)v=0, \, [/mm] v [mm] \not= [/mm] 0$
Hieraus folgt
[mm] $Av-c*I_n*v=0 \Rightarrow [/mm] Av=cv$.
Geht das so?
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A \in M_n(\IR)[/mm].
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> i) Es gibt [mm]0 \not= v \in \IR^n[/mm] und ein [mm]c \in \IR[/mm], sodass
> [mm]Av=cv[/mm]. Beweise, dass [mm]det(A-cI_n)=0[/mm].
> ii) Sei [mm]c \in \IR[/mm], sodass [mm]det(A-cI_n)=0[/mm]. Beweise, dass es
> einen Vektor [mm]0 \not= v \in \IR^n[/mm] gibt mit [mm]Av=cv[/mm].
> Hey,
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> Teilaufgabe ii) ist im Prinzip Teilaufgabe i), nur
> rückwärts.
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> Teilaufgabe i)
> Aus [mm]Av=cv[/mm] folgt, dass
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> [mm]Av-c*I_n*v=0=(A-cI_n)v=0[/mm].
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> Das sagt uns, dass [mm]v[/mm] im Kern der linearen Abbildung
> [mm](A-cI_n)[/mm] liegen, muss. Da [mm]v[/mm] aber ungleich null ist, ist die
> Dimension des Kerns nicht null und die lineare Abbildung
> nicht invertierbar (weil nicht surjektiv). Hieraus folgt,
> dass die Determinante der Matrix [mm]A-cI_n[/mm] null sein muss.
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> Teilaufgabe ii)
> Da [mm]det(A-cI_n)=0[/mm], wissen wir, dass die lineare Abbildung
> [mm](A-cI_n)[/mm] nicht invertierbar ist und demnach auch nicht
> surjektiv. Die Dimension des Kerns der Abbildung ist also
> nicht null und somit enthält der Kern (mindestens) einen
> Vektor ungleich null. Also:
>
> [mm](A-cI_n)v=0, \, v \not= 0[/mm]
>
> Hieraus folgt
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> [mm]Av-c*I_n*v=0 \Rightarrow Av=cv[/mm].
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> Geht das so?
ja
fred
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> Liebe Grüße.
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