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Hallo Leute,
das Semester hat kaum begonnen, schon tut sich vor mir ein großes mathematisches Fragezeichen auf. Ich hoffe es kann mir von euch jemand bei der Lösung des Problems helfen. Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar.
A := 1/6 * [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
Zu zeigen ist, dass diese Matrix mittels einer orthogonalen Matrix S auf Diagonalform D = [mm] S^{-1} [/mm] * A * S gebracht werden kann. Außerdem soll diese Matrix D explizit angegeben werden.
Nun mein Ansatz:
A ist symmetrisch [mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt eine Orthonormalbasis des [mm] \IR^{n} [/mm] aus Eigenvektoren von A. Ferner folgt aus der Symmetrie, dass A orthogonal diagonalisierbar ist.
A orthogonal diagonalisierbar [mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt eine orthogonale Matrix S für die gilt: [mm] S^{-1} [/mm] * A *S ist eine Diagonalmatrix.
Nun gilt es nur noch die Diagonalmatrix zu bestimmen.
D und A sind ja ähnlich. D.h. sie haben die gleichen Eigenwerte.
D hat nur in der Hauptdiagonalen Werte ungleich 0. Die Werte in der Hauptdiagonalen sind die Eigenwerte von A.
Mein char. Poly.:
1/6 * 1/6 * 1/6 [mm] *(x^{3} [/mm] - [mm] 6x^{2} [/mm] - 3 x + 30)
Die Nullsten hiervon sind die Eigenwerte.
Wie findet man hier die drei Nullstellen?
Gruß
Prof.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Martin!
Deine Grundüberlegungen sind richtig. Symmetrische Matrizen sind bzgl Orthonormalbasen genau die Selbstadjungierten linearen Abbildungen des [mm] $\IR^n$ [/mm] in sich. Diese sind orthogonal diagonalisierbar, d.h. es existiert eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren der zu untersuchenden Matrix.
Dein Fehler liegt in der Berechnung des charakteristischen Polynomes. Meine Rechnungen haben [mm] $\chi [/mm] _A [mm] (x)=\vmat{1-x & 2 & 3 \\ 2 & 3-x & 1 \\ 3 & 1 & 2-x}=-x^3+6x^2+3x-18$ [/mm] ergeben. Die Nullstellen hiervon sind [mm] $6,\pm\sqrt{3}$.
[/mm]
Weißt du nun, wie es weiter geht?
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo,
wie es nun weiter geht ist mir klar.
Jedoch habe ich in deiner Determinante vermutlich einen Fehler entdeckt. Es muß nach meinem Wissen nicht 1 - x usw. sondern x - 1 usw. heißen.
Außerdem muß ich doch jede Zahl in der Matrix A mit 1/6 mulitplizieren oder?
Gruß
Prof.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Martin!
> Jedoch habe ich in deiner Determinante vermutlich einen Fehler entdeckt. Es muß nach meinem Wissen nicht 1 - x usw. sondern x - 1 usw. heißen.
Ja, das ist richtig. Es ist die Determinante von $M-xE$ zu bestimmen.
> Außerdem muß ich doch jede Zahl in der Matrix A mit 1/6 mulitplizieren oder?
Du kannst einfach erst die Matrix ohne den Faktor [mm] $\frac{1}{6}$ [/mm] betrachten und ihre Eigenwerte bestimmen. Wie du dir leicht überlegst, sind dann die Eigenwerte von [mm] $\frac{1}{6} [/mm] M$ genau die Sechstel der Eigenwerte von $M$.
Dort habe ich mich im übrigen vorhin vertan. Die Eigenwerte der ursprünglichen Matrix sind also [mm] $6,\frac{1}{2\sqrt{3}},-\frac{1}{2\sqrt{3}}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo,
x> Hallo Martin!
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> > Jedoch habe ich in deiner Determinante vermutlich einen
> Fehler entdeckt. Es muß nach meinem Wissen nicht 1 - x usw.
> sondern x - 1 usw. heißen.
>
> Ja, das ist richtig. Es ist die Determinante von [mm]M-xE[/mm] zu
> bestimmen.
Du meinst sicher die Determinante von [mm]xE - M[/mm]
> > Außerdem muß ich doch jede Zahl in der Matrix A mit 1/6
> mulitplizieren oder?
>
> Du kannst einfach erst die Matrix ohne den Faktor
> [mm]\frac{1}{6}[/mm] betrachten und ihre Eigenwerte bestimmen. Wie
> du dir leicht überlegst, sind dann die Eigenwerte von
> [mm]\frac{1}{6} M[/mm] genau die Sechstel der Eigenwerte von [mm]M[/mm].
>
> Dort habe ich mich im übrigen vorhin vertan. Die Eigenwerte
> der ursprünglichen Matrix sind also
> [mm]6,\frac{1}{2\sqrt{3}},-\frac{1}{2\sqrt{3}}[/mm].
>
Lass und mal die char. Polynome vergleichen.
Meins lautet: [mm] x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] - 1/12 x + 5/36
Bei diesem char. Polynom ist 6 kein Eigenwert. Sorry
> Liebe Grüße,
> Hanno
Gruß
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Sa 22.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo ihr beiden,
also ob man nun det(M-xE) oder det(xE-M) rechnet ist doch völlig egal für die Nullstellen des daraus resultierenden Polynoms, denn es ergibt nur einen Faktor (-1) überall....
> Lass und mal die char. Polynome vergleichen.
>
> Meins lautet: [mm]x^{3}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm] - 1/12 x + 5/36
Nee, das CharPoly lautet : [mm] $-x^3 [/mm] + [mm] 6x^2 [/mm] + 3x - 18 = 0$ oder eben [mm] $x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] - 3x + 18 = 0$
(dies hat mir Derive verraten)
die Nullstellen davon sind [mm] $x_1=6$ [/mm] und [mm] $x_{2,3}= \pm \wurzel{3}$
[/mm]
Aber wie Hanno schon sagte : man muss noch den Faktor 1/6 daran multiplizieren...
(das hat Hanno nur bei der 6 vergessen^^)
viele Grüße
DaMenge
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