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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 So 09.10.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Hab ein kleines Verständnisproblem und hoffe mir kann dabei jemand weiter helfen:
p(x) = [mm] x^3+2x^2+x+2 [/mm] A = [mm] \begin{pmatrix}
0 & 3 \\
2 & 3
\end{pmatrix}
[/mm]
gesucht sind die Eigenwerte der Matrix p(A);
Lösung: Eigenwerte der Matrix A berechnen und in p(x) einsetzen.
Nun verstehe ich leider nicht warum das funktioniert. Mir ist klar, dass die Eigenwerte der Potenzen einer Matrix gleich den Potenzen der Eigenwerte sind, was ich jedoch nicht verstehe, warum sind die Eigenwerte der Summe zweier Matrizen gleich der Summe der Eigenwerte der Matrizen.
Ich denke dass es an der Multilinearität der Determinante nicht liegen kann, vielleicht irre ich mich da aber auch.
Hoffe jemand weiß warum das so ist.
Vielen Dank!
mfg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 So 09.10.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> p(x) = [mm]x^3+2x^2+x+2[/mm] A = [mm]\begin{pmatrix}
0 & 3 \\
2 & 3
\end{pmatrix}[/mm]
>
> gesucht sind die Eigenwerte der Matrix p(A);
> Lösung: Eigenwerte der Matrix A berechnen und in p(x)
> einsetzen.
>
> Nun verstehe ich leider nicht warum das funktioniert. Mir
> ist klar, dass die Eigenwerte der Potenzen einer Matrix
> gleich den Potenzen der Eigenwerte sind, was ich jedoch
> nicht verstehe, warum sind die Eigenwerte der Summe zweier
> Matrizen gleich der Summe der Eigenwerte der Matrizen.
> Ich denke dass es an der Multilinearität der Determinante
> nicht liegen kann, vielleicht irre ich mich da aber auch.
das die eigenwerte einer summe von matrizen der summe der eigenwerte der matrizen entspricht stimmt im allgemeinen nicht - nur wenn die zugehörigen eigenräume einen nicht trivialen schnitt haben. das ist hier aber der fall.
hier lässt sich das ganz einfach nachrechnen. also sei [mm] $\lambda$ [/mm] eigenwert von $A$, das heißt es gibt ein $v [mm] \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$, [/mm] so dass $Av = [mm] \lambda [/mm] v$, dann gilt [mm] ($E_2$ [/mm] sei die Einheitsmatrix):
[m] p(A) v = (A^3 + 2A^2 + A + 2 E_2)v = ... [/m]
das noch fertig rechnen, dann steht dirket da, dass $v$ ein eigenvektor von $p(A)$ zum eigenwert [mm] $p(\lambda)$ [/mm] ist.
hoffe das hilft dir weiter.
grüße
andreas
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