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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 So 05.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Hab da ein Beispiel wo ich nicht weiter komm bzw. wie ich ansetzen soll:
Seien A,B in [mm] K^{n}_{n}. [/mm] Zeigen Sie, dass AB und BA dieselben Eigenwerte haben.
Wie soll ich das allgemein beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 So 05.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Es gilt zunächst:
$AB$ hat den Eigenwert $0$
[mm] $\Leftrightarrow 0=\det(AB)= \det(A) \cdot \det(B)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 0 = [mm] \det(B) \cdot \det(A) [/mm] = [mm] \det(BA)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $BA$ hat den Eigenwert $0$.
Nun sei [mm] $\lambda \ne [/mm] 0$ ein Eigenwert von $AB$, d.h. es gibt ein $x [mm] \ne [/mm] 0$ mit [mm] $ABx=\lambda [/mm] x$ Wegen [mm] $\lambda [/mm] x [mm] \ne [/mm] 0$ folgt dann auch $Bx [mm] \ne [/mm] 0$, und wegen
$BABx = B [mm] (\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] Bx$
ist $Bx$ ein Eigenvektor von $BA$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$. [/mm] Genauso zeigt man, dass jeder Eigenwert [mm] $\lambda \ne [/mm] 0$ von $BA$ auch ein Eigenwert von $AB$ ist.
Viele Grüße
Stefan
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