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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mi 11.11.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Sei V ein K-VR mit dim V =n. Die lineare Abbildung [mm] \alpha: [/mm] V [mm] \to [/mm] V habe die Eigenschaft [mm] Im(\alpha)=Ker(\alpha).
[/mm]
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von [mm] \alpha. [/mm] |
Hallo,
Ich frage mich wie ich hier vorehen muss zur Bestimmung der Eigenwerte und der Eigenräume. Mein Problem liegt darin, dass die Abbildung nicht konkret gegeben ist, sondern nur die Eigenschaft [mm] Im(\alpha)=Ker(\alpha).
[/mm]
Ich meine, ich könnte mir als Bsp. die Abb. [mm] \alpha: \IR^4 \to \IR^4 [/mm] mit [mm] \alpha\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}=\vektor{0 \\ 0 \\ x_{1} \\ x_{2}} [/mm] betrachten und davon zum Beispiel Eigenwerte und Eigenräume bestimmen, aber wie kann ich für den allgemeine Fall vorgehen...?
Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Mi 11.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Nimm mal an, [mm] \alpha [/mm] habe den Eigenwert t [mm] \not=0. [/mm] Dann gibt es ein x [mm] \in [/mm] V mit x [mm] \not= [/mm] 0 und
[mm] \alpha(x) [/mm] = tx
Dann ist x [mm] \in Im(\alpha) [/mm] = [mm] kern(\alpha), [/mm] somit ist tx = [mm] \alpha(x) [/mm] =0, also x=0, Widerspruch!
[mm] \alpha [/mm] kann also höchstens den Eigenwert 0 haben !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mi 11.11.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank dir schon mal. Ich steh aber leider immer noch völlig aufm Schlauch, wie ich ohne eine konkret gegebene Abbildung nun den Eigenraum des Eigenwerts 0 berechnen kann.
Sorry, aber ich scheine heut nen Blackout zu haben.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Mi 11.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei x [mm] \in [/mm] V. Dann ist [mm] \alpha(x) \in Im(\alpha) [/mm] = [mm] kern((\alpha), [/mm] also ist
[mm] \alpha^2(x) [/mm] = 0
x war beliebig , somit gilt [mm] \alpha^2 [/mm] = 0.
FRED
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