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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Di 08.07.2008 | | Autor: | Tully |
| Aufgabe | 1. Bestimmen Sie zu der Matrix:
A:= [mm] \pmat{-1 & 0 & 0 \\ -2 &-3&-4\\2 & 2 & 3}
[/mm]
über dem Körper [mm] \IR [/mm] das Charakteristische Polynom [mm] \gamma [/mm] A
2. Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A und geben Sie zu jedem Eigenwert eine maximale Anzahl an linear unabhängigen Eigenvektoren an.
3. Geben Sie die Matrizen
[mm] A^9 [/mm] 99999 und [mm] A^1 [/mm] 000000
(ohne viel zu rechnen, aber mit Begründung) an.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Zu Aufgabe 1. habe ich als Ch. Polynom folgendes Ergebnis:
[mm] -\gamma^3 [/mm] - [mm] \gamma^2 [/mm] + [mm] \gamma [/mm] + 1
Ist dies korrekt?
Zu Aufgabe 2. habe ich folgende Eigenwerte:
1,-1
Bei Aufgabe 3. weiß ich leider nicht, wie ich da vorgehen soll bzw. was gemeint ist. Weiß jemand von Euch einen Rat? :)
danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Di 08.07.2008 | | Autor: | pelzig |
1) und 2) sind soweit richtig. Für die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenwerte berechne jeweils die Dimension der Eigenräume [mm] $E(A,\lambda):=ker(A-\lambda\mathbb{E}_3)$ [/mm] für alle Eigenwerte [mm] $\lambda$.
[/mm]
Für Aufgabe 3) Schau dir mal [mm] $A^2$ [/mm] an...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Di 08.07.2008 | | Autor: | Tully |
Danke!
Kannst du vielleicht deine herangehensweise zur Berechnung der max. Anzahl an linear unabhängigen Eigenvektoren genauer beschreiben? (bzw. ein Beispiel aufzeigen...)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Di 08.07.2008 | | Autor: | pelzig |
> Kannst du vielleicht deine herangehensweise zur Berechnung
> der max. Anzahl an linear unabhängigen Eigenvektoren
> genauer beschreiben?
Dass es genauso klappt wie ich gesagt habe liegt an zwei Tatsachen:
1) Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren.
2) Die Menge aller Eigenvektoren von $A$ zum EW [mm] $\lambda$ [/mm] (disjunkt!) vereinigt mit dem Nullvektor bilden genau die [mm] $E(A,\lambda)$ [/mm] wie ich sie oben definiert habe, denn:
[mm] $$v\in E(A,\lambda)\gdw v\in\ker(A-\lambda\mathbb{E}_n)\gdw(A-\lambda\mathbb{E}_n)(v)=0\gdw Av-\lambda v=0\gdw Av=\lambda v\gdw (\lambda\text{ Eigenwert zu }\lambda) \vee [/mm] v=0$$ Insbesondere ist [mm] $E(A,\lambda)$ [/mm] ein Vektorraum (da [mm] $\ker(...)$ [/mm] immer ein VR ist), und jeder Vektor [mm] $v\ne0$ [/mm] aus V ist ein EV von A zu [mm] $\lambda$. [/mm] Damit folgt aus 1), dass [mm] $\dim E(A,\lambda)$ [/mm] tatsächlich die maximale Anzahl von linear unabhängigen EV zum EW [mm] $\lambda$ [/mm] ist.
ein Beispiel:
[mm] $$\ker(A-1\cdot\mathbb{E}_3)=\ker\pmat{-2 & 0 & 0 \\ -2 &-4&-4\\2 & 2 & 2}=\ker\pmat{1&0&0\\0&1&1\\0&0&0}=\langle\vektor{0\\1\\-1}\rangle$$
[/mm]
Also [mm] $\dim [/mm] E(A,1)=1$, d.h. es gibt höchstens 1 linear unabhängige EV zum EW 1.
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