www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Abbildungen" - Eigenwerte
Eigenwerte < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Mo 07.04.2008
Autor: Teradil

Aufgabe
Seien A, B [mm] \in (\IK)_n [/mm] . Zeigen oder widerlegen Sie: A [mm] \cdot [/mm] B und B [mm] \cdot [/mm] A haben die selben Eigenwerte.

Für n=2 und n=3 weiß ich, dass es stimmt... Es lässt mich vermuten, dass man diese Beziehung also auch irgendwie allgemein beweisen kann.

C = AB, D = BA

Cx = [mm] {\lambda}x \wedge [/mm] Dx = [mm] \lambda {\bar x} [/mm]

Die Eigenwerte kriege ich über das charakteristische Polynom: [mm] det(C-\lambda*E) [/mm] = 0 = [mm] det(D-\lambda*E) [/mm] . Ich kann auch noch mit ein paar Matrizengesetzen rumjonglieren (z.B. C = A [mm] \cdot [/mm] B = [mm] B^T \cdot A^T [/mm] ...), aber ich habe ehrlich gesagt gerade keinen schlauen Gedanken, wie ich da weiterkommen soll... :(

        
Bezug
Eigenwerte: anderer Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Mo 07.04.2008
Autor: Disap


> Seien A, B [mm]\in (\IK)_n[/mm] . Zeigen oder widerlegen Sie: A
> [mm]\cdot[/mm] B und B [mm]\cdot[/mm] A haben die selben Eigenwerte.
>  Für n=2 und n=3 weiß ich, dass es stimmt... Es lässt mich
> vermuten, dass man diese Beziehung also auch irgendwie
> allgemein beweisen kann.
>  
> C = AB, D = BA
>  
> Cx = [mm]{\lambda}x \wedge[/mm] Dx = [mm]\lambda {\bar x}[/mm]
>  
> Die Eigenwerte kriege ich über das charakteristische
> Polynom: [mm]det(C-\lambda*E)[/mm] = 0 = [mm]det(D-\lambda*E)[/mm] . Ich kann
> auch noch mit ein paar Matrizengesetzen rumjonglieren (z.B.
> C = A [mm]\cdot[/mm] B = [mm]B^T \cdot A^T[/mm] ...), aber ich habe ehrlich
> gesagt gerade keinen schlauen Gedanken, wie ich da
> weiterkommen soll... :(

Ein einfacherer Ansatz ist, dass du zeigst, dass AB und BA dasselbe charakteristische Polynom besitzt. Denn dann hätten AB und BA dieselben Eigenwerte, da das charakteristische Polynom diegleichen Nullstellen liefert

> Polynom: [mm] $det(C-\lambda*E) [/mm]  = [mm] det(D-\lambda*E)$ [/mm]

Das sollst du zeigen, richtig. Und das mach mal

Bezug
        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Mo 07.04.2008
Autor: logarithmus

Hi,
also wir wollen zeigen, dass für $A, B [mm] \in [/mm] Mat(n [mm] \times [/mm] n, K)$ gilt:
$A [mm] \cdot [/mm] B$ und $B [mm] \cdot [/mm] A$ haben dieselben Eigenwerte.
Ohne Determinannte und charakteristisches Polynom geht es einfacher:

Sei $v [mm] \in K^n$ [/mm] ein (nicht $0$) Eigenvektor von $A [mm] \cdot [/mm] B$ zum Eigenwert [mm] $\lambda \in [/mm] K$. Dann haben wir:
$A [mm] \cdot [/mm] B [mm] \cdot [/mm] v = [mm] \lambda \cdot [/mm] v$ .
Anwendung von $B$ auf beiden Seiten der letzten Gleichung und anschliessend das Assoziativgesetz der Matrixmultiplikation ergibt:
$(B [mm] \cdot [/mm] A) [mm] \cdot [/mm] B [mm] \cdot [/mm] v = B [mm] \cdot [/mm] (A [mm] \cdot [/mm] B [mm] \cdot [/mm] v) = B [mm] \cdot (\lambda \cdot [/mm] v) = [mm] \lambda \cdot [/mm] B [mm] \cdot [/mm] v$.
In der letzten Gleichheit wurde die Linearität der Matrix ausgenutzt. Nun definieren wir $u := B [mm] \cdot [/mm] v$, dann sagt die letzte Gleichung:
$(B [mm] \cdot [/mm] A) [mm] \cdot [/mm] u = [mm] \lambda \cdot [/mm] u$, also ist [mm] $\lambda$ [/mm] auch ein Eigenwert von $B [mm] \cdot [/mm] A$, was wir ja zeigen wollten.

Gruss,
logarithmus


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]