Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Do 13.01.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Ich habe die Frage noch in keinem Forum vorher gestellt.
Ich habe Probleme mit folgenden zwei Aufgaben:
1. Sei A eine nxn-Matrix, k ein Eigenwert von A, und P ein Polynom. Zeigen Sie, dass P(k) ein Eigenwert von P(A) ist.
2. Sei f: [mm] \IR² \to \IR² [/mm] eine Abbildung, die eine Gerade g durch den O-Punkt als Menge auf sich selbst abbildet, und eine Gerade h [mm] \not= [/mm] g punktweise fix lässt. Was lässt sich über die Eigenwerte von f aussagen.
Ich habe keinen Schimmer. Eigenwerte sind nicht mein Thema.
Gruß Marietta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Do 13.01.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Marietta,
schade, dass du nicht schreibst, wobei du mit Eigenwerten dein Problem hast. Das würde helfen, es dir besser zu erklären.
> Ich habe Probleme mit folgenden zwei Aufgaben:
> 1. Sei A eine nxn-Matrix, k ein Eigenwert von A, und P ein
> Polynom. Zeigen Sie, dass P(k) ein Eigenwert von P(A) ist.
Deine Voraussetzung ist also, dass P ein Polynom ist, also
[mm]P(k)=a_n*k^n+...+a_1*k+a_0[/mm].
Weiterhin ist [mm]P(A)=a_n*A^n+...+a_1*A+a_0*id[/mm], wobei [mm]id[/mm] die Einheitsmatrix ist.
Da k ein Eigenwert von A ist, gilt:
[mm]\exists x \in \IR^n, x \not= 0 \[/mm] so dass [mm]A*x = k*x[/mm] und damit auch [mm]A^n*x=k^n*x[/mm], was du dir noch klar machen solltest.
Dir bleibt dann zu zeigen: [mm]\exists y \in \IR^n \, so \, dass \, P(A)*y=P(k)*y[/mm].
Versuche das doch mal zu zeigen, indem du beide Seiten ausschreibst! Falls du nicht weiterkommst, erkläre mir, wo dein Problem liegt!
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Ich kann mir nicht vorstellen, was ein Eigenwert ist (geometrisch) auch finde ich es schwer Eigenwerte anhand einer Matrix zu finden. Gibt es da verschiedene Möglichkeiten? Wir hatte die Formel det (M-k*id) = 0, also mithilfe des charakteristischen Polynoms, aber wenn die Matrizen größer sind klappt das nicht mehr so ganz. Zum Beispiel hatten wir allgemein eine Matrix M wo die 1. Zeile lautet: a b c ... n (bei den anderen Zeilen war es so ähnlich auch mit Pünktchen). Wie berechnet man da die Eigenwerte?
Wenn P(k) ein Eigenwert ist, heißt das dann, dass der Eigenwert ein Polynom ist und keine Zahl wie 5, ist? Ich weiß jetzt auch nicht wie ich zeigen kann,dass die Gleichung P(A)*y = P(k)*y stimmt.
Gruß Marietta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 So 16.01.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Marietta,
> Ich kann mir nicht vorstellen, was ein Eigenwert ist
> (geometrisch)
Stell dir mal eine zweidimensionale lineare Abbildung vor, beschrieben durch eine Matrix $A$. Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der unter der Abbildung auf ein Vielfaches (nämlich genau das [mm] \lambda [/mm] -fache, wenn [mm] \lambda [/mm] eine Eigenwert ist) von sich selbst abgebildet wird.
Angenommen, für $A$ ist [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 2. Dann wird der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] in der Ebene durch die Abbildung einfach nur auf das Doppelte verlängert.
Ist die Abbildung z.B. eine Drehung um bspw. 45°, dann kann es keine Eigenvektoren geben, da kein Vektor nach der Drehung "in dieselbe Richtung" oder "genau die entgegengesetzte Richtung" zeigt.
> auch finde ich es schwer Eigenwerte anhand
> einer Matrix zu finden. Gibt es da verschiedene
> Möglichkeiten? Wir hatte die Formel det (M-k*id) = 0, also
> mithilfe des charakteristischen Polynoms,
Das sollte zumindest bei allen euren Rechenaufgaben funktionieren. Sind Eigenwerte/Eigenvektoren zu berechnen, fällt mir jetzt spontan keine andere Möglichkeit ein. Möglich ist es nur, durch bestimmte Sätze (die ihr sicher in der Vorlesung habt), die Existenz zu beweisen.
> aber wenn die
> Matrizen größer sind klappt das nicht mehr so ganz. Zum
> Beispiel hatten wir allgemein eine Matrix M wo die 1. Zeile
> lautet: a b c ... n (bei den anderen Zeilen war es so
> ähnlich auch mit Pünktchen). Wie berechnet man da die
> Eigenwerte?
Da müßtest du ggf. ein Beispiel posten, so allgemein kann man das nciht beantworten!
> Wenn P(k) ein Eigenwert ist, heißt das dann, dass der
> Eigenwert ein Polynom ist und keine Zahl wie 5, ist?
Klar, rechnerisch hast du hier dann ein Polynom stehen, aber für jedes konkrete k bekommst du ja eine konkrete Zahl heraus, du kennst nur leider dein k nicht. Ebenso kannst du ja $P(A)$ auch nicht konkret berechnen, sondern du zeigst die Gültigkeit allgemein für alle möglichen Polynome und alle möglichen Matritzen $A$.
> Ich weiß jetzt auch nicht wie ich zeigen kann,dass die
> Gleichung P(A)*y = P(k)*y stimmt.
Versuch doch mal aufzuschreiben, warum du das nicht weißt! Wo liegt dein Problem genau? Dann kann ich viel genauer Antworten.
Ok, wir hatten gesagt, [mm] $P(k)=a_n k^n [/mm] + ... + [mm] a_1 [/mm] k + [mm] a_0$ [/mm] und [mm] $P(A)=a_n A^n [/mm] + ... + [mm] a_1 [/mm] A + [mm] a_0 [/mm] id$.
Da $k$ EW zu $A$ folgt, dass [mm] $\exists [/mm] 0 [mm] \not= [/mm] x [mm] \in \IR$ [/mm] so dass $Ax = kx$. Dann gilt auch: [mm] $A^n [/mm] x = [mm] \underbrace{A \cdot ... \cdot A }_{n mal} \cdot [/mm] x = [mm] \underbrace{A \cdot ... \cdot A }_{n - 1 mal} \cdot [/mm] k x = ... = [mm] k^n [/mm] x$.
Nachdem die Vorarbeit gemacht ist, können wir nun zeigen: $P(k)$ ist EW zu $P(A)$.
Für dasselbe $x$ wie oben gilt:
$P(A) x = [mm] (a_n A^n [/mm] + ... + [mm] a_1 [/mm] A + [mm] a_0 [/mm] id) x = [mm] a_n \underbrace{A^n x}_{= k^n x} [/mm] + ... + [mm] a_1 [/mm] A x + [mm] a_0 [/mm] id x = [mm] a_n k^n [/mm] x + ... + [mm] a_1 [/mm] k x + [mm] a_0 [/mm] x = [mm] (a_n k^n [/mm] + ... + [mm] a_1 [/mm] k + [mm] a_0) [/mm] x = P(k) x$
was zu zeigen war.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen!
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Viele Dank. Hatte irgendwie eine Schranke im Kopf. Ist ja gar nicht so schwer.
Habe das mit den Eigenwerten jetzt verstanden.
Gruß Marietta
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