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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Meli90 |
| Aufgabe | V ist eine 2x2 Matrix
f ein Endomorphismus(V)
und f(A)=transponierte A
Zeige dass +1 und -1 Eigenwerte von f sind |
Guten Abend zusammen.
Ich habe diese Aufgabe zu lösen, weiss aber nicht wie ich da ran gehen soll.. Mein Problem ist vor allem, dass ich ja f nicht explizit kenne. Wie komme ich denn trotzdem auf die Eigenwerte?
Es gibt ja einen Sat, der sagt, bei günstigen Basen entsteht eine Matrix mit den Eigenwerten als diagonale Einträge, kann ich einfach so eine Matrix nehmen
[mm] \pmat{1 & 0\\0 & -1}
[/mm]
Aber da gehe ich ja dann schon davon aus, dass dies Eigenwerte sind... Wie ihr seht bin ich etwas verzweifelt/verwirrt. Wäre froh um Tipps. Vielen Dank!!
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Hallo Meli,
leider ist deine Angabe etwas durcheinander geraten. Bitte gib dir in Zukunft etwas mehr Mühe beim Formulieren deiner Frage, das macht das Antworten viel leichter!
Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann ist $V$ der Vektorraum der [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen, und $f$ ist ein Endomorphismus auf $V$ mit [mm] $A\mapsto A^T$. [/mm] Die Eigenwerte bestimmst du in diesem Fall am einfachsten, indem du Eigenvektoren suchst.
Tatsächlich kannst du $f$ als Matrix ausdrücken, indem du eine Basis von $V$ wählst. $V$ ist allerdings ein vierdimensionaler Vektorraum. Eine Basis wäre z.B. [mm] $\left\{\pmat{1&0\\0&0},\pmat{0&1\\0&0},\pmat{0&0\\1&0},\pmat{0&0\\0&1}\right\}$. [/mm] Überleg dir doch mal, wie $f(A)$ für diese Matrizen aussieht. Vielleicht kommst du dann ja auf eine Idee, wie du die Eigenvektoren wählen musst!
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Do 12.04.2007 | | Autor: | Meli90 |
Hi!
Vielen herzlichen Dank für deinen Tipp und die Mühe die du dir gemacht hast meine wirre Frage zu verstehen.. Also es ist alles so, wie duvermutet hast bezüglich der Aufgabenstellung..
Nun die Basen leuchten mir auch ein, auch wenn ich alleine nie so weit gekommen wäre.. =) Dein Tipp verstehe ich jedoch nicht ganz: ich soll mir überlegen was f auf die Basen angewendet ergeben würde?
Also [mm] f(v_{1})=1*v_{1}
[/mm]
[mm] f(v_{2})=1*v_{3}
[/mm]
[mm] f(v_{3})=1*v_{2}
[/mm]
und [mm] f(v_{4})=1*v_{4}
[/mm]
das würde aber folgende Matrix geben, oder?
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
was aber nicht mehr eine 2x2 Matrix ist, oder mache ich hier wieder ein Durcheinander?
Ich bin sehr dankbar um Hinweise.. Merci, Meli
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> Hi!
Selber Hai, 
> Vielen herzlichen Dank für deinen Tipp und die Mühe die du
> dir gemacht hast meine wirre Frage zu verstehen.. Also es
> ist alles so, wie duvermutet hast bezüglich der
> Aufgabenstellung..
> Nun die Basen leuchten mir auch ein, auch wenn ich alleine
> nie so weit gekommen wäre.. =) Dein Tipp verstehe ich
> jedoch nicht ganz: ich soll mir überlegen was f auf die
> Basen angewendet ergeben würde?
> Also [mm]f(v_{1})=1*v_{1}[/mm]
> [mm]f(v_{2})=1*v_{3}[/mm]
> [mm]f(v_{3})=1*v_{2}[/mm]
> und [mm]f(v_{4})=1*v_{4}[/mm]
> das würde aber folgende Matrix geben, oder?
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> was aber nicht mehr eine 2x2 Matrix ist, oder mache ich
> hier wieder ein Durcheinander?
> Ich bin sehr dankbar um Hinweise.. Merci, Meli
Hallo Meli,
also diese [mm] $4\times [/mm] 4$-Matrix ist die Darstellungsmatrix [mm] $M_{\mathcal{B}}$ [/mm] von $f$ bzgl. der Standardbasis [mm] $\mathcal{B}$
[/mm]
Die haste richtig berechnet, ihr Format, also [mm] $4\times [/mm] 4$ stimmt auch, da ja [mm] $V=\mathcal{M}_2(\IK)$ [/mm] isomorph zu [mm] $\IK^4$ [/mm] ist (allg. [mm] $V=\mathcal{M}_n(\IK)$ [/mm] isomorph zu [mm] $\IK^{n^2}$)
[/mm]
Die Eigenwerte von $f$ sind die Eigenwerte der Darstellungsmatrix von $f$.
Berechne also das charakteristische Polynom [mm] $det(\lambda\cdot{}\mathbb{E}_4-M_{\mathcal{B}})$
[/mm]
Da sollte - wenn ich mich nicht verrechnet habe - [mm] $cp(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda+1)$ [/mm] rauskommen.
Nullstellen dieses charakt. Polynoms - also EW von [mm] $M_{\mathcal{B}}$ [/mm] und damit von $f$ sind also [mm] $\lambda_1=1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2=-1$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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