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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 So 14.01.2007 | | Autor: | doener |
| Aufgabe | | Seien A und B n [mm] \times [/mm] x matrizen und die Eigenwerte von AB seien [mm] \lambda_{1} \cdots \lambda_{n}. [/mm] was sind die eigenwerte von [mm] B^{T}A^{T}? [/mm] |
es gilt ja [mm] (AB)^{T} [/mm] = [mm] B^{T}A^{T}, [/mm] doch ich kann damit nichts anfangen.
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> Seien A und B n [mm]\times[/mm] x matrizen und die Eigenwerte von AB
> seien [mm]\lambda_{1} \cdots \lambda_{n}.[/mm] was sind die
> eigenwerte von [mm]B^{T}A^{T}?[/mm]
> es gilt ja [mm](AB)^{T}[/mm] = [mm]B^{T}A^{T},[/mm] doch ich kann damit
> nichts anfangen.
Hallo,
wie ist denn das mit den Eigenwerten von transponierten Matrizen?
Gruß v. Angela
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Hallo doener!
> Seien A und B n [mm]\times[/mm] x matrizen und die Eigenwerte von AB
> seien [mm]\lambda_{1} \cdots \lambda_{n}.[/mm] was sind die
> eigenwerte von [mm]B^{T}A^{T}?[/mm]
> es gilt ja [mm](AB)^{T}[/mm] = [mm]B^{T}A^{T},[/mm] doch ich kann damit
> nichts anfangen.
Kann man das nicht so machen:
Eigenwerte sind doch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Also für die Matrix AB:
[mm] $det(\lambda [/mm] I-AB)$. Da [mm] $\lambda [/mm] I$ eine Diagonalmatrix ist und bei AB auf der Diagonalen das Gleiche steht wie bei [mm] (AB)^T, [/mm] sind die Eigenwerte die gleichen (da [mm] $det(\lambda I-AB)=det(\lambda I-(AB)^T)$).
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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