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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Mafiose |
| Aufgabe | Für die Matrix A bestimmen Sie:
a) das charakteristische Polynom zur bestimmung der Eigenwerte
b) die Eigenwerte der Matrix (nummerisch mit vier Dezimalstellen anzugeben)
(Hinweis: Beachten Sie die Symmetrieeigenschaften)
[mm] \pmat{ x & 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 & 0\\ 0 & 1 & x & 1\\0 & 0 & 1 & x} [/mm] |
Hallo @all,
kann ich die Matrix direkt so aufbauen?
[mm] \pmat{ x- \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 1 & x- \lambda & 1 & 0\\ 0 & 1 & x- \lambda & 1\\0 & 0 & 1 & x- \lambda}
[/mm]
dann hab ich ja [mm] (x-\lambda)^4
[/mm]
so jetzt müsste ich ja die Nullstellen ausrechnen...
ich habe aber 2 unbekannte Variable (x) und ( [mm] \lambda)
[/mm]
kann ich etwa zuerst die gleichung nach X sortieren und gleich Null setzen,
dann X einsetzen und [mm] \lambda [/mm] ausrechnen?
ich hab dann X=4, [mm] \lambda=0,786
[/mm]
was sind den jetzt die Eigenwerte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für die Matrix A bestimmen Sie:
> a) das charakteristische Polynom zur bestimmung der
> Eigenwerte
> b) die Eigenwerte der Matrix (nummerisch mit vier
> Dezimalstellen anzugeben)
> (Hinweis: Beachten Sie die Symmetrieeigenschaften)
>
>
> [mm]\pmat{ x & 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 & 0\\ 0 & 1 & x & 1\\0 & 0 & 1 & x}[/mm]
>
> Hallo @all,
>
> kann ich die Matrix direkt so aufbauen?
> [mm]\pmat{ x- \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 1 & x- \lambda & 1 & 0\\ 0 & 1 & x- \lambda & 1\\0 & 0 & 1 & x- \lambda}[/mm]
Ja.
> dann hab ich ja [mm](x-\lambda)^4[/mm]
Ich bezweifle, dass dies die Determinante der oben genannten Matrix ist.
> so jetzt müsste ich ja die Nullstellen ausrechnen...
> ich habe aber 2 unbekannte Variable (x) und ( [mm]\lambda)[/mm]
>
> kann ich etwa zuerst die gleichung nach X sortieren und
> gleich Null setzen,
> dann X einsetzen und [mm]\lambda[/mm] ausrechnen?
Ja, kannst du natuerlich machen. Aber da kommt dann [mm] $\lambda [/mm] = X$ raus, das kann ich dir so schon sagen  Das was du hier raushast:
> ich hab dann X=4, [mm]\lambda=0,786[/mm]
Kommt da zumindest sicher nicht raus...
> was sind den jetzt die Eigenwerte?
Fuer ein festes $x$ die Werte fuer [mm] $\lambda$, [/mm] die du da rausbekommst. Hier also $x$ selber, wenn die Determinante oben stimmen wuerde (was ich nicht glaube).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Mafiose |
hi danke für die Antwort
hm..wahrscheinlich hab ich mich verrechnet.
im Prinzip muss ich doch so rechnen oder?
(1*1+0+0+0+1*1)-(0+1+(x- [mm] \lambda)+(x- \lambda)+(x- \lambda)+(x- \lambda)+1+0)
[/mm]
=2-2+(x- [mm] \lambda)^4
[/mm]
[mm] =x^4+\lambda^4-2x\lambda^3-6x^3\lambda+5x^2\lambda^2
[/mm]
Wenn ich schon hier falsch liege, dann bitte korregieren :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hm..wahrscheinlich hab ich mich verrechnet.
>
> im Prinzip muss ich doch so rechnen oder?
>
> (1*1+0+0+0+1*1)-(0+1+(x- [mm]\lambda)+(x- \lambda)+(x- \lambda)+(x- \lambda)+1+0)[/mm]
>
> =2-2+(x- [mm]\lambda)^4[/mm]
> [mm]=x^4+\lambda^4-2x\lambda^3-6x^3\lambda+5x^2\lambda^2[/mm]
Nein, das darfst du nicht! Diese `Lattenzaunregel' (oder wie auch immer sie bei euch heisst) gilt nur fuer $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrizen! Benutze am besten Laplace-Entwicklung, gerade wo du hier so viele Nullen hast sollte das recht gut gehen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Mafiose |
ah ja stimmt ...also ich mach das ganze jetzt mit Laplace entwicklungssatz.
irgendwie kommt aber was komisches raus...ich kannn damit gar nichts anfangen.
Ich nehm die 3te Zeile.
D=0A31+1A32+(x- [mm] \lambda)A33+1A34
[/mm]
A31= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ x-\lambda & 1 & 0\\0 & 1 & x-\lambda }=2*(x-\lambda)
[/mm]
A33= [mm] \pmat{ x-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & x-\lambda & 0\\0 & 0 & x-\lambda }=(x-\lambda)^3-1
[/mm]
A34= [mm] \pmat{ x-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & x-\lambda & 1\\0 & 0 & 1 }=(x-\lambda)^2-1
[/mm]
[mm] D=2(x-\lambda)+(x-\lambda)^4-2+(x-\lambda)^2
[/mm]
da ist bestimmt was falsch oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mi 10.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ah ja stimmt ...also ich mach das ganze jetzt mit Laplace
> entwicklungssatz.
> irgendwie kommt aber was komisches raus...ich kannn damit
> gar nichts anfangen.
>
> Ich nehm die 3te Zeile.
Wieso nimmst du nicht eine Zeile oder Spalte mit zwei Nullen? Warum ausgerechnet eine mit nur einer Null?
> D=0A31+1A32+(x- [mm]\lambda)A33+1A34[/mm]
>
> A31= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ x-\lambda & 1 & 0\\0 & 1 & x-\lambda }=2*(x-\lambda)[/mm]
Du solltest [mm] $A_{32}$ [/mm] berechnen und nicht [mm] $A_{31}$!
[/mm]
>
> A33= [mm]\pmat{ x-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & x-\lambda & 0\\0 & 0 & x-\lambda }=(x-\lambda)^3-1[/mm]
>
> A34= [mm]\pmat{ x-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & x-\lambda & 1\\0 & 0 & 1 }=(x-\lambda)^2-1[/mm]
>
> [mm]D=2(x-\lambda)+(x-\lambda)^4-2+(x-\lambda)^2[/mm]
Und erst recht nicht [mm] $A_{31}$ [/mm] anstatt [mm] $A_{32}$ [/mm] einsetzen! Dann ist es kein Wunder das was falsches herauskommt...
Damit du numerisch die Eigenwerte ausrechnen kannst brauchst du uebrigens einen konkreten Wert fuer $x$. Ansonsten wird das nix.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Mafiose |
Hi felix,
na ich hab es einfach nachm Bsp. aus Papula gemacht...hab nicht so oft sowas gerechnet....
hm...wenn in der Aufgabe kein X vorgegeben ist??? also die Aufgabe ist genauso gestellt, wie ich die beschrieben habe. (Klausur)
ich werd das nochmal durchrechnen...wäre nett, wenn du nochmal drüber gucken könntest... irgendwann werd ich die Aufgabe lösen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Mi 10.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hm...wenn in der Aufgabe kein X vorgegeben ist??? also die
> Aufgabe ist genauso gestellt, wie ich die beschrieben habe.
> (Klausur)
Na dann ist die Aufgabenstellung kaputt. Wie soll man da numerisch eine Nullstelle [mm] $\lambda$ [/mm] berechnen, wenn $x$ beliebig sein kann?!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Mafiose |
also hier die Aufgabe nochmal genau:
Für unten gegebene Matrix bestimmen Sie:
a)zur Bestimmung der Eigenwerte das Polynom
b) die Eigenwerte(nummerisch mit vier Dezimalstellen anzugeben)
Tipp: beachten Sie die Symmetrieeigenschaften.
Also es gibt hier nix, wo man etwas für X einsetzen könnte...
ich glaub ich gehe mal zum Prof. :)
hier ist nochmal eine Lösung...sieht jetzt zwar besser aus..aber mich stört immer noch dieses [mm] (x-\lambda)^4
[/mm]
Also ich mache das mit der 4 Zeile ( 2 Nullen)
V41*0(....) wird sowieso Null
V42*0(....) wird auch null
V43*1 [mm] \pmat{ x-\lambda & 1 & 0\\ 1 & x-\lambda & 0 \\0 & 1 & 1 }
[/mm]
[mm] V44*x-\lambda \pmat{ x-\lambda & 1 & 0\\ 1 & x-\lambda & 1 \\0 & 1 & x-\lambda }
[/mm]
[mm] V43=1*(-1)^{4+3}=-1
[/mm]
[mm] V44=x-\lambda*(-1)^{4+4}=x-\lambda
[/mm]
[mm] V43=-(x-\lambda)^2+1-1
[/mm]
[mm] V44=x-\lambda(x-\lambda)^3+2-2
[/mm]
[mm] (-x+\lambda)^2+(x-\lambda)^4
[/mm]
???soweit alles falsch? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Do 11.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> also hier die Aufgabe nochmal genau:
> Für unten gegebene Matrix bestimmen Sie:
>
> a)zur Bestimmung der Eigenwerte das Polynom
> b) die Eigenwerte(nummerisch mit vier Dezimalstellen
> anzugeben)
> Tipp: beachten Sie die Symmetrieeigenschaften.
>
> Also es gibt hier nix, wo man etwas für X einsetzen
> könnte...
> ich glaub ich gehe mal zum Prof. :)
Tu das.
> hier ist nochmal eine Lösung...sieht jetzt zwar besser
> aus..aber mich stört immer noch dieses [mm](x-\lambda)^4[/mm]
>
> Also ich mache das mit der 4 Zeile ( 2 Nullen)
>
> V41*0(....) wird sowieso Null
> V42*0(....) wird auch null
>
> V43*1 [mm]\pmat{ x-\lambda & 1 & 0\\ 1 & x-\lambda & 0 \\0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> [mm]V44*x-\lambda \pmat{ x-\lambda & 1 & 0\\ 1 & x-\lambda & 1 \\0 & 1 & x-\lambda }[/mm]
>
> [mm]V43=1*(-1)^{4+3}=-1[/mm]
> [mm]V44=x-\lambda*(-1)^{4+4}=x-\lambda[/mm]
>
> [mm]V43=-(x-\lambda)^2+1-1[/mm]
> [mm]V44=x-\lambda(x-\lambda)^3+2-2[/mm]
> [mm](-x+\lambda)^2+(x-\lambda)^4[/mm]
>
> ???soweit alles falsch? :)
Wenn man irgendwie nachvollziehen koennte was du da genau machst koennte man dir das schon sagen. Aber so ist das nur eine Ansammlung von teilweise unzusammenhaengenden und vielleicht auch falschen Formeln... Wenn ich nicht wuesste das du da eine Laplace-Entwicklung nach der vierten Zeile machst wuerde ich da gar keinen Sinn drin erkennen, und so glaube ich nur viele Fehler erkennen zu koennen...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Do 11.05.2006 | | Autor: | Mafiose |
ähm...verstehe ich dich richtig?
du verstehst nicht was ich da mache?
also ich mache ja eine Laplace Entwicklung nach der 4ten Zeile.
Du kannst es doch bestimmt oder? dann müsstest du doch sehen ob ich es richtig mache....
1. die erste spalte&4te Zeile streichen (Matrix aufschreiben)
2. die zweite spalte&4te Zeile streichen (Matrix aufschreiben)
3. die dritte spalte&4te Zeile streichen (Matrix aufschreiben)
4. die 4te spalte&4te Zeile streichen (Matrix aufschreiben)
so dann die von 4te Zeile und 1 Spalte den Wert holen (0) und mal die Matrix => wird Null
dann V42, da ist der Wert auch Null, also auch Null
jetzt bleibt nur noch V43, und V44
V43 hat den Wert 1 * die Determinante
V44 hat den Wert [mm] x-\lambda [/mm] * die Determinante
jö und dann alles zusammen rechnen
V43+V44
kannst du meine Schritte nicht nachvollziehen?
kannste vlt. dann selbst ausrechnen und mir wenigstens den Anfang zeigen?
ich will das können :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Mafiose |
hm..kann mir den da keiner weiterhelfen?
hab ich wenigstens das Polynom richtig stehen?
Lösungsansatz für Eigenwerte:
um die Eigenwerte auszurechnen, muss ich das Polynom Substiturieren mit U und dann die [mm] \lambda [/mm] ausrechnen, wenn ich dann zurücksubstituriere, hab ich
so was raus [mm] \bruch{1}{ \wurzel{3}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Fr 12.05.2006 | | Autor: | statler |
Hallo,
meine ratz-fatz-Rechnung (natürlich ohne Gewähr) gibt als char. Pol.
(X - [mm] \lambda)^{4} [/mm] - 3*(X - [mm] \lambda)^{2} [/mm] + 1
Wenn man damit rechnet, sind die Nullstellen lin. Funktionen von X. Ist das gemeint? Der Papula ist mir eh nicht geheuer.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:55 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Mafiose |
hi,
danke für die Antwort.
kannst du mir vlt. noch erklären wie du dadrauf kommst?
ich krieg mit [mm] \lambda [/mm] das hier raus:
[mm] -(x-\lambda)^2+(x-\lambda)^4
[/mm]
und wenn ich einfach D ausrechne:
[mm] -x^2+x^4
[/mm]
--------
man sieht ja, dass der zweite Teil irgendwie gleich zum ersten ist...und jetzt sollte man irgendwie durch substitution, [mm] \lambda [/mm] ausrechnen können...ich weiß es aber nicht wie :)
wenn ich die Klammer ausrechne hab ich das hier:
[mm] x^4+\lambda^4+6x^2\lambda^2-4x\lambda^3-4x^3\lambda
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 14.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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