Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 02.05.2006 | | Autor: | Kuebi |
| Aufgabe | Sei n [mm] \ge [/mm] 1 und A eine n [mm] \times [/mm] n - Matrix über einem Körper K mit Eigenwerten [mm] \lambda_{1} [/mm] ... [mm] \lambda_{n}.
[/mm]
Zeigen Sie: det(A) = [mm] \produkt_{i=1}^{n} \lambda_{i} [/mm] |
Hallo ihr!
Die obige Aufgabe erscheint mir in meinen Augen prädestiniert für eine vollständige Induktion in n.
Leider fehlt mir der Initialfunke für den endgültigen Induktionnschritt.
Bisher habe ich folgenes:
I.A.: n = 1, sei A die Matrix mit dem einzigen Eintrag [mm] a_{11}. [/mm] Es folgt: [mm] det(A)=a_{11}=\produkt_{i=1}^{n} \lambda_{i} [/mm] da dass charak. Polynom von A: [mm] chi_{A}(x) [/mm] = [mm] (x-a_{11}) [/mm] die Nst. [mm] a_{11} [/mm] hat.
I.V.: Sei det(A) = [mm] \produkt_{i=1}^{n} \lambda_{i} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1.
I.S.: ...
Leider hörts bei mir hier auf. Habe schon verschiedene Dinge probiert, z.B. Entwicklung nach der ersten Spalte, komme aber auf keinen grünen Zweig.
Vielleicht funktioniert die Sache mit Induktion ja auch gar nicht!
Vielen Dank für eure Hilfe!
Lg, Kübi
|
|
| |
|
Hallo Kübi!
Das geht bestimmt auch irgendwie mit Induktion, aber einfacher ist sicher folgender weg:
Wenn die [mm] \lambda_i [/mm] paarweise verschieden sind, dann kannst du die Matrix diagonalisieren und da sich die Determinante beim Basiswechsel nicht ändert, ist det A= det [mm] diag(\lambda_1,...\lambda_n)=\produkt_{i=1}^{n}\lambda_i
[/mm]
Wenn die Eigenwerte nicht alle verschieden sind, hast du offenbar (mit Vielfachheiten) immer noch n Stück davon, was bedeutet, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und du die Matrix zumindest Trigonalisieren kannst. Hier gilt das gleiche wie oben: die Determinante änder sich nicht beim Basiswechsel und bei Dreiecksmatrizen ist die Determinante wieder das Produkt der Diagonaleinträge, also der Eigenwerte.
Ich hoffe, dir damit weitergeholfen zu haben
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Mi 03.05.2006 | | Autor: | trollg |
Es geht auch ohne die Diagonalisierbarkeit vorauszusetzen:
charakteristisches Polynom kann nach Voraussetzung faktorisiert werden, also P(t)= det (A- t*id) = [mm] (-1)^n* (lambda_1-t)* [/mm] ... [mm] (lambda_n-t),
[/mm]
also P(0)= det A = [mm] lambda_1* [/mm] ... * [mm] lambda_n
[/mm]
|
|
|
| |
|
Das stimmt leider nur bei algebraisch abgeschlossenen Körpern wie [mm] \IC. [/mm] Oder wie würdest du ein charakteristisches Polynom wie [mm] t^2+1 [/mm] in [mm] \IR [/mm] faktorisieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Also per Induktion kommt man bei der Aufgabe nicht weit. Entweder man macht es direkt ueber irgendeine Normalform, bei der man die Eigenwerte auf der Diagonalen hat und entweder unter oder ueber der Diagonalen nur Nullen stehen, oder man macht es so trollg vorgeschlagen hat (find ich am elegantesten).
> Das stimmt leider nur bei algebraisch abgeschlossenen
> Körpern wie [mm]\IC.[/mm]
Nein, das geht immer so. Du musst halt alle Eigenwerte nehmen, egal in welcher Koerpererweiterung sie liegen, und auch in einer Koerpererweiterung rechnen. Das Ergebnis ist jedoch immer in $K$. In der Aufgabe wird ja auch vorausgesetzt dass die Eigenwerte alle bekannt sind (da genau $n$ Eigenwerte vorgegeben werden).
> Oder wie würdest du ein charakteristisches
> Polynom wie [mm]t^2+1[/mm] in [mm]\IR[/mm] faktorisieren?
In der Aufgabenstellung sind die Nullstellen alle bekannt.
LG Felix
|
|
|
|
