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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Do 20.04.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallo!
Ich soll zeigen, wenn [mm] \lambda_{1},...., \lambda_{r} [/mm] Eigenwerte einer Matrix A sind, dann sind [mm] \lambda_{1}^{-1},...., \lambda_{r}^{-1} [/mm] Eigenwerte von [mm] A^{-1}.
[/mm]
Ich hab jetzt erstmal die allgemeine Definition für den Eigenwert zu Hilfe genommen: [mm] A*v=\lambda*v [/mm] und mir alles aufgeschrieben, was gilt, wenn eine Matrix invertiebar ist, z.B. rg(A)=n, detA [mm] \not= [/mm] 0 usw. Aber das hat mir eigentlich gar nix gebracht.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich das mache? Ich muss ja dabei sicher auch irgendwie berücksichtigen, dass [mm] A^{-1} [/mm] keine anderen Eigenwerte außer [mm] \lambda_{1}^{-1},...., \lambda_{r}^{-1} [/mm] hat. Aber wie?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Do 20.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
du musst nur wissen, dass [mm] $E=(A^{-1}*A)$ [/mm] (E=Einheitsmatrix) ist, denn dann ist:
sei v ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda_i$
[/mm]
[mm] $1*v=E*v=(A^{-1}*A)*v=A^{-1}*(A*v)=A^{-1}*(A*v)=\lambda_i*(A^{-1}*v)$
[/mm]
Was stellst du also fest, wenn du ganz rechts mit ganz links vergleichst?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 So 23.04.2006 | | Autor: | Franzie |
Kann ich jetzt mit diesen Kenntnissen irgendwelche Schlussfolgerungen für die Eigenräume [mm] Eig_{\lambda_{i}}(A) [/mm] und [mm] Eig_{\lambda_{i}^{-1}}(A^{-1}) [/mm] ziehen?
Sind das dieselben?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 So 23.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Kann ich jetzt mit diesen Kenntnissen irgendwelche
> Schlussfolgerungen für die Eigenräume [mm]Eig_{\lambda_{i}}(A)[/mm]
> und [mm]Eig_{\lambda_{i}^{-1}}(A^{-1})[/mm] ziehen?
> Sind das dieselben?
Ja, es sind dieselben. Den Beweis dafuer hat DaMenge im Prinzip auch schon aufgeschrieben, du musst ihn nur richtig interpretieren... ;)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Mo 24.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also sei [mm] $\vec{x}=A^{-1}*\vec{v}$ [/mm] du hast ja oben gesehen, dass dann gilt:
[mm] $\lambda_i*\vec{x}=\vec{v}$
[/mm]
wie gross ist dann also [mm] $\vec{x}$ [/mm] ?
bzgl welchem Eigenwert ist v also Eigenvektor von [mm] $A^{-1}$ [/mm] ?
viele Gruesse
DaMenge
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