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Hallo
Hab folgende Aufgabe
folgende unvollständige 3x3Matrix beschreibt eine linear Transformation
A= [mm] \pmat{ 1 & \bruch{3}{5}&\bruch{4}{5} \\ 0 &a_{22}&a_{23}\\0&a_{32}&a_{33}} [/mm] mit
A [mm] \vektor{1 \\ 4\2}= \vektor{5 \\ -8\\5} [/mm] und
A [mm] \vektor{1 \\ 6\\-2}= \vektor{3 \\ -2\\0} [/mm]
1 bestimmen der fehlenden Einträge komm ich auf
A= [mm] \pmat{ 1 & \bruch{3}{5}&\bruch{4}{5} \\ 0 &-1&-2\\0&\bruch{1}{2}&\bruch{3}{2}}
[/mm]
2Es gibt zweiverschiedene Vektoren (keiner davon der Nullvektor), die durch A auf sich selbst abgebildet werden.
Was bedeutet das für die Eigenwerte von A?
Für die Eigenwerte bekomme ich [mm] \lambda_{1,2}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{3}= \bruch{-1}{2} [/mm] dann wollt ich noch die Eigenvektoren berechenen
für [mm] \lambda_{3}= \bruch{-1}{2} [/mm] kommt bei mir [mm] \vektor{\bruch{2}{5}\\ -1\\1} [/mm]
für [mm] \lambda_{1,2}=1 [/mm] kommt bei mir [mm] -x_{2}=x_{3} [/mm] aber das paßt nicht mit der 1 Gleichung [mm] 0x_{1}+\bruch{3}{5}x_2+\bruch{4}{5}x_3=0
[/mm]
was stimmt da nicht ?
3 Lösen sie das Gleichungssystem [mm] A^{n}*x= \vektor{3\\0\\0} [/mm] für beliebige natürliche Zahlen n (dies ist ohne Rechnung möglich)?
Wie funktioniert das normalerweise ist das einfache berechnen von potenzen einer Matrix nur mit diagonalisieren möglich das kann aber keiner im Kopf ausrechnen
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Hallo stevarino,
> Hallo
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> Hab folgende Aufgabe
> folgende unvollständige 3x3Matrix beschreibt eine linear
> Transformation
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> A= [mm]\pmat{ 1 & \bruch{3}{5}&\bruch{4}{5} \\ 0 &a_{22}&a_{23}\\0&a_{32}&a_{33}}[/mm]
> mit
> A [mm]\vektor{1 \\ 4\\2}= \vektor{5 \\ -8\\5}[/mm] und
> A [mm]\vektor{1 \\ 6\\-2}= \vektor{3 \\ -2\\0}[/mm]
>
> 1 bestimmen der fehlenden Einträge komm ich auf
> A= [mm]\pmat{ 1 & \bruch{3}{5}&\bruch{4}{5} \\ 0 &-1&-2\\0&\bruch{1}{2}&\bruch{3}{2}}[/mm]
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> 2Es gibt zweiverschiedene Vektoren (keiner davon der
> Nullvektor), die durch A auf sich selbst abgebildet werden.
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> Was bedeutet das für die Eigenwerte von A?
>
> Für die Eigenwerte bekomme ich [mm]\lambda_{1,2}=1[/mm] und
> [mm]\lambda_{3}= \bruch{-1}{2}[/mm] dann wollt ich noch die
> Eigenvektoren berechenen
>
> für [mm]\lambda_{3}= \bruch{-1}{2}[/mm] kommt bei mir
> [mm]\vektor{\bruch{2}{5}\\ -1\\1}[/mm]
> für [mm]\lambda_{1,2}=1[/mm] kommt bei mir [mm]-x_{2}=x_{3}[/mm] aber das
> paßt nicht mit der 1 Gleichung
> [mm]0x_{1}+\bruch{3}{5}x_2+\bruch{4}{5}x_3=0[/mm]
>
> was stimmt da nicht ?
Setzt man [mm]-x_{2}=x_{3}[/mm] in die Gleichung ein, so folgt [mm]x_{2}\;=\;x_{3}\;=\;0[/mm].
Außerdem hast Du noch eine Zahl [mm]x_{1}[/mm] zu bestimmen, damit diese Gleichung erfüllt wird.
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> 3 Lösen sie das Gleichungssystem [mm]A^{n}*x= \vektor{3\\0\\0}[/mm]
> für beliebige natürliche Zahlen n (dies ist ohne Rechnung
> möglich)?
Ja.
> Wie funktioniert das normalerweise ist das einfache
> berechnen von potenzen einer Matrix nur mit diagonalisieren
> möglich das kann aber keiner im Kopf ausrechnen
Das brauchst Du hier auch nicht.
Da der Lösungsvektor b ein Vielfaches des Eigenvektors zum Eigenwert 1 ist, gilt:
[mm]A\;x \; = \;b[/mm]
Hier ist die Lösungsmenge genau der Vektor b
Durch Multiplikation mit der Matrix A von links ergibt sich:
[mm]A^2 \;b\; = \;A\;\left( {A\;b} \right)\; = A\;b\; = \;b[/mm]
Das heißt, die Lösungsmenge ändert sich durch Linksmultiplikation mit der Matrix A nicht.
Gruß
MathePower
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> Hallo stevarino,
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> > Hallo
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> > Hab folgende Aufgabe
> > folgende unvollständige 3x3Matrix beschreibt eine
> linear
> > Transformation
> >
> > A= [mm]\pmat{ 1 & \bruch{3}{5}&\bruch{4}{5} \\ 0 &a_{22}&a_{23}\\0&a_{32}&a_{33}}[/mm]
> > mit
> > A [mm]\vektor{1 \\ 4\\2}= \vektor{5 \\ -8\\5}[/mm] und
> > A [mm]\vektor{1 \\ 6\\-2}= \vektor{3 \\ -2\\0}[/mm]
> >
> > 1 bestimmen der fehlenden Einträge komm ich auf
> > A= [mm]\pmat{ 1 & \bruch{3}{5}&\bruch{4}{5} \\ 0 &-1&-2\\0&\bruch{1}{2}&\bruch{3}{2}}[/mm]
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> >
> > 2Es gibt zweiverschiedene Vektoren (keiner davon der
> > Nullvektor), die durch A auf sich selbst abgebildet werden.
Was bedeutet das für die Eigenwerte von A?
> >
> > Für die Eigenwerte bekomme ich [mm]\lambda_{1,2}=1[/mm] und
> > [mm]\lambda_{3}= \bruch{-1}{2}[/mm] dann wollt ich noch die
> > Eigenvektoren berechenen
> >
> > für [mm]\lambda_{3}= \bruch{-1}{2}[/mm] kommt bei mir
> > [mm]\vektor{\bruch{2}{5}\\ -1\\1}[/mm]
> > für [mm]\lambda_{1,2}=1[/mm] kommt bei mir [mm]-x_{2}=x_{3}[/mm] aber das
> > paßt nicht mit der 1 Gleichung
> > [mm]0x_{1}+\bruch{3}{5}x_2+\bruch{4}{5}x_3=0[/mm]
> >
> > was stimmt da nicht ?
>
> Setzt man [mm]-x_{2}=x_{3}[/mm] in die Gleichung ein, so folgt
> [mm]x_{2}\;=\;x_{3}\;=\;0[/mm].
>
> Außerdem hast Du noch eine Zahl [mm]x_{1}[/mm] zu bestimmen, damit
> diese Gleichung erfüllt wird.
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> >
> > 3 Lösen sie das Gleichungssystem [mm]A^{n}*x= \vektor{3\\0\\0}[/mm]
> > für beliebige natürliche Zahlen n (dies ist ohne Rechnung
> > möglich)?
>
> Ja.
>
> > Wie funktioniert das normalerweise ist das einfache
> > berechnen von potenzen einer Matrix nur mit diagonalisieren
> > möglich das kann aber keiner im Kopf ausrechnen
>
> Das brauchst Du hier auch nicht.
>
> Da der Lösungsvektor b ein Vielfaches des Eigenvektors zum
> Eigenwert 1 ist, gilt:
>
> [mm]A\;x \; = \;b[/mm]
>
> Hier ist die Lösungsmenge genau der Vektor b
>
> Durch Multiplikation mit der Matrix A von links ergibt
> sich:
>
> [mm]A^2 \;b\; = \;A\;\left( {A\;b} \right)\; = A\;b\; = \;b[/mm]
>
> Das heißt, die Lösungsmenge ändert sich durch
> Linksmultiplikation mit der Matrix A nicht.
>
> Gruß
> MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo stevarino!
> > > 2Es gibt zweiverschiedene Vektoren (keiner davon der
> > > Nullvektor), die durch A auf sich selbst abgebildet werden.
>
> Was bedeutet das für die Eigenwerte von A?
Es bedeutet, dass $1$ zweifacher Eigenwert ist (algebraische Vielfachheit!) und es zudem noch einen weiteren reellen Eigenwert geben muss...
Liebe Grüße
Stefan
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