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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 So 22.01.2012 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | | [mm] \lambda [/mm] e K sei ein Eigenwert von A e [mm] K^{nxn}. [/mm] Zeigen Sie , dass [mm] \lambda^2 [/mm] ein Eigenwert von [mm] A^2 [/mm] ist und geben die im Fall det [mm] \not= [/mm] 0 auch einen Eigenwert von [mm] A^{-1} [/mm] an. |
Hi,
Ich habe mir bei dieser Aufgabe nun die Definition angeschaut
[mm] Av=\lambda [/mm] v.
Dann habe ich den Vektor Av , w genannt und dann mal versucht beide Fälle durchzugehen. Zuerst
Aw = A(Av) = A [mm] \lambda [/mm] v = [mm] \lambda [/mm] Av = [mm] \lambda^2 [/mm] v
Reihenfolge kann ich ja vertauschen da [mm] \lambda [/mm] ein Skala ist.
Außerdem habe ich noch
Aw = A(Av) = [mm] A^2 [/mm] v
Hier bin ich mir aber nicht so sicher. Kann ich das so stehen lassen als Beweis für Aufgabenteil a ?
Dann weis ich leider noch nicht wie ich den zweiten Teil mit A^-1 beweisen soll :/
lg
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:51 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\lambda[/mm] e K sei ein Eigenwert von A e [mm]K^{nxn}.[/mm] Zeigen Sie ,
> dass [mm]\lambda^2[/mm] ein Eigenwert von [mm]A^2[/mm] ist und geben die im
> Fall det [mm]\not=[/mm] 0 auch einen Eigenwert von [mm]A^{-1}[/mm] an.
> Hi,
> Ich habe mir bei dieser Aufgabe nun die Definition
> angeschaut
> [mm]Av=\lambda[/mm] v.
> Dann habe ich den Vektor Av , w genannt und dann mal
> versucht beide Fälle durchzugehen. Zuerst
> Aw = A(Av) = A [mm]\lambda[/mm] v = [mm]\lambda[/mm] Av = [mm]\lambda^2[/mm] v
> Reihenfolge kann ich ja vertauschen da [mm]\lambda[/mm] ein Skala
> ist.
> Außerdem habe ich noch
> Aw = A(Av) = [mm]A^2[/mm] v
> Hier bin ich mir aber nicht so sicher. Kann ich das so
> stehen lassen als Beweis für Aufgabenteil a ?
Na ja, es fehlt noch: $A^2v= [mm] \lambda^2v.$
[/mm]
>
> Dann weis ich leider noch nicht wie ich den zweiten Teil
> mit A^-1 beweisen soll :/
Sei det(A) [mm] \ne [/mm] 0.
Zeige: Ist v [mm] \ne [/mm] 0 und Av= [mm] \lambda [/mm] v, so ist [mm] \lambda \ne [/mm] 0 und [mm] A^{-1}v [/mm] = [mm] \bruch{1}{\lambda}v
[/mm]
FRED
>
>
> lg
> Micha
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