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Hi alle zusammen,
hier mal eine Aufgabe die ich lösen soll:
Für A [mm] \in [/mm] M(n x n, C) sei
exp(A) = [mm] \summe_{j=0}^\infty \frac{A^j}{j!} [/mm] .
Diese Reihe konvergiert bezüglich der üblichen Norm in M(n x n, C) [mm] \cong R^{2*n^2} [/mm] für jedes A (das brauchen Sie hier nicht zu beweisen). Zeigen Sie:
a) Hat A die Eigenwerte [mm] \lambda_1 [/mm] , [mm] \cdots [/mm] , [mm] \lamda_n, [/mm] so hat exp(A) die Eigenwerte [mm] e^{\lambda_1}, [/mm] ... , [mm] e^{\lambda_n} [/mm] .
b) Ist A hermitesch, so ist exp(A) hermitesch. Ist A schiefhermitesch, so ist exp(A) unitär.
c) Kommutieren die Matrizen [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2, [/mm] so gilt [mm] exp(A_1 [/mm] + [mm] A_2) [/mm] = [mm] exp(A_1) exp(A_2).
[/mm]
d) Ist A normal, so ist exp(A) das Produkt einer hermiteschen und einer unitären Matrix.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Du bist doch jetzt schon so lange bei uns dabei und solltest eigentlich wissen, dass wir eigene Ansätze erwarten!
Ich mache mal die Aufgabe a) vor, bei dem Rest erwarte ich eigene Ideen von dir:
Zeige zunächst per vollständiger Induktion, dass für einen Eigenvektor $v$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] folgendes gilt:
$A^jx = [mm] \lambda^j [/mm] x$.
Dann geht es so weiter:
Für einen Eigenvektor $x$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] von $A$ gilt:
[mm] $\exp(A)x$
[/mm]
$= [mm] \left[ \sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{A^j}{j!} \right]x$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j!} (A^j [/mm] x)$
$= [mm] \sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j!} (\lambda^j [/mm] x)$
$= [mm] \left[ \sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^j}{j!} \right]x$
[/mm]
[mm] $=e^{\lambda} [/mm] x$.
Viele Grüße
Julius
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