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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwert von Endomorphismus
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Eigenwert von Endomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Mi 23.01.2008
Autor: Mudi

Aufgabe
Die Ableitung von unendlich differenzierbaren Funktionen,
[mm]D: C^\infty (\IR) \rightarrow C^\infty (\IR), f \rightarrow Df \equiv f'[/mm]
ist ein linearer Endomorphismus des (unendlich-dimensionalen) reellen Vektorraums [mm]C^\infty (\IR)[/mm].
Bestimmen sie dir Eigenwerte und Eigenvektoren von D.

Meine Frage hierzu ist eigentlich nur: Wie geh ich da ran?
Ich kann Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen berechnen, das ist kein Problem.
Ich könnte mir vorstellen dass es evtl etwas mit der Darstellungsmatrix zu tun haben könnte, nur wie komm ich auf die?
Danke schonmal für eure hilfe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Eigenwert von Endomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:05 Do 24.01.2008
Autor: angela.h.b.

Hallo,

[willkommenmr].

Mit der Darstellungsmatrix geht das nicht so gut, denn es ist ja der betrachtete Vektorraum nicht endlichdimensional.

Ich würde hier ganz direkt über die Definition der Eigenwertes/-vektors drangehen:

Sei f ein Eigenvektor und [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert.

Dann ist [mm] D(f)=\lambda [/mm] f, also [mm] f'=\lambda [/mm] f, und dieses Problem ist eines der Analysis, welches dort vermutlich gelöst wurde.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Eigenwert von Endomorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:38 Do 24.01.2008
Autor: Mudi

Ja aber is dann nich ganz [mm] \IR [/mm] Eigenwert von D?
Angenommen ich hätte [mm] f:=e^{\lambda*x}. [/mm] Davon wäre doch die Ableitung [mm] f'=\lambda*e^{\lambda*x}=\lambda*f [/mm] was für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] gilt. Eigenvektor dazu ist dann [mm] e^{\lambda*x} [/mm] wenn ich mich nicht irre oder?

Bezug
                        
Bezug
Eigenwert von Endomorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:59 Do 24.01.2008
Autor: angela.h.b.


> Ja aber is dann nich ganz [mm]\IR[/mm] Eigenwert von D?

Hallo,

ja, so ist das.

>  Angenommen ich hätte [mm]f:=e^{\lambda*x}.[/mm] Davon wäre doch die
> Ableitung [mm]f'=\lambda*e^{\lambda*x}=\lambda*f[/mm] was für alle
> [mm]\lambda \in \IR[/mm] gilt. Eigenvektor dazu ist dann
> [mm]e^{\lambda*x}[/mm] wenn ich mich nicht irre oder?

Ein Eigenvektor zu [mm] \lambda [/mm] ist f mit [mm] f(x):=e^{\lambda x} [/mm] , aber alle Vielfachen rf natürlich ebenso. [mm] (r\not=0). [/mm]

Gruß v. Angela


Bezug
                                
Bezug
Eigenwert von Endomorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:28 Do 24.01.2008
Autor: Mudi

Alles klar.
Vielen Dank für deine Hilfe

Bezug
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