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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Folgendes steht im Buch:
Sei [mm] I\subset\IR [/mm] ein Intervall und [mm] V=\cal{D}(I;\IR) [/mm] der unendlichdimensionale [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der auf I beliebig oft differenzierbaren Funktionen. Ein Endomorphismus ist gegeben durch
[mm] F:V\to [/mm] V, [mm] \varphi\mapsto\varphi'.
[/mm]
Dieses F hat jedes beliebige [mm] \lambda\in\IR [/mm] als Eigenwert, denn
[mm] \varphi(x):=ce^{\lambda x}
[/mm]
ist für jedes [mm] c\in\IR^{\star} [/mm] ein Eigenvektor zu [mm] \lambda.
[/mm]
Meine Frage dazu:
Warum heißt es: Dieses F hat jedes beliebige [mm] \lambda\in\IR [/mm] als Eigenwert. Für den Fall, dass [mm] \varphi [/mm] so definiert ist, wie oben, ist mir das ja klar. Aber für andere Funktionen [mm] \varphi? [/mm] Oder verstehe ich hier irgendwas nicht richtig?
Viele Grüße
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Die Aussage "$F$ hat [mm] $\lambda$ [/mm] als Eigenwert" bedeutet doch:
Es gibt ein $v [mm] \in [/mm] V$, $v [mm] \ne [/mm] 0$, mit
[mm] $F(v)=\lambda \cdot [/mm] v$.
Nun, und für jedes [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] gibt es eben ein solches $v$. Dieses wird etwa gegeben durch $v = [mm] \varphi_{\lambda}$ [/mm] mit
[mm] $\varphi_{\lambda}(x) [/mm] = [mm] e^{\lambda x}$.
[/mm]
Selbstverständlich sind dann auch alle Vielfachen
$c [mm] \cdot e^{\lambda x}$ [/mm] ($c [mm] \in \IR$)
[/mm]
Eigenvektoren.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Die Aussage "[mm]F[/mm] hat [mm]\lambda[/mm] als Eigenwert" bedeutet doch:
>
> Es gibt ein [mm]v \in V[/mm], [mm]v \ne 0[/mm], mit
>
> [mm]F(v)=\lambda \cdot v[/mm].
>
> Nun, und für jedes [mm]\lambda \in \IR[/mm] gibt es eben ein solches
> [mm]v[/mm]. Dieses wird etwa gegeben durch [mm]v = \varphi_{\lambda}[/mm]
> mit
>
> [mm]\varphi_{\lambda}(x) = e^{\lambda x}[/mm].
>
> Selbstverständlich sind dann auch alle Vielfachen
>
> [mm]c \cdot e^{\lambda x}[/mm] ([mm]c \in \IR[/mm])
>
> Eigenvektoren.
Nach zweimaligem Lesen habe ich es jetzt verstanden. Mein Denkfehler war irgendwie da, dass ich gedacht habe, es müsste ein Eigenwert von [mm] \varphi [/mm] sein oder so.
Viele Grüße und danke
Christiane
![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]")
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