Eigenwert und Eigenvektor < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Fr 07.01.2011 | | Autor: | ICG |
Hallo, ich habe diese Frage in keinem Forum, oder auf anderen Internetseiten gestellt.
und zwar versuche ich Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix auszurechnen und bräuchte etwas hilfe, da dort komplexe Zahlen rauskommen.
A= [mm] \pmat{ 0 & -2 \\ 3 & 1 }
[/mm]
Als Eigenwerte bekomme ich
[mm] \lambda1=\bruch{1}{2}+i\wurzel{23}/2
[/mm]
[mm] \lambda2=\bruch{1}{2}-i\wurzel{23}/2
[/mm]
dann für [mm] \lambda1 (A-\bruch{1}{2}+i\wurzel{23}/2 [/mm] E)x=0
bekomme ich zwei Gleichungen, nachdem ich von A-E abgezogen habe
[mm] (-\bruch{1}{2}+i\wurzel{23}/2)x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] =0
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2}+i\wurzel{23}/2) x_{2} [/mm] =0
irgendwie weiß ich nun gerade nicht, aufgrund der komplexen Zahlen, wie ich nun die Gleichung auflösen kann, bestimmt ist es leichter als ich denke... wäre nett, wenn mir hier jemand helfen könnte.
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Hallo ICG,
> Hallo, ich habe diese Frage in keinem Forum, oder auf
> anderen Internetseiten gestellt.
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> und zwar versuche ich Eigenwerte und Eigenvektoren dieser
> Matrix auszurechnen und bräuchte etwas hilfe, da dort
> komplexe Zahlen rauskommen.
>
> A= [mm]\pmat{ 0 & -2 \\
3 & 1 }[/mm]
>
>
> Als Eigenwerte bekomme ich
> [mm]\lambda1=\bruch{1}{2}+i\wurzel{23}/2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\lambda2=\bruch{1}{2}-i\wurzel{23}/2[/mm]
>
> dann für [mm]\lambda1 (A-\bruch{1}{2}+i\wurzel{23}/2[/mm]
> E)x=0
>
> bekomme ich zwei Gleichungen, nachdem ich von A-E abgezogen
> habe
>
> [mm](-\bruch{1}{2}+i\wurzel{23}/2)x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2}[/mm] =0
> [mm]3x_{1}[/mm] + [mm](\bruch{1}{2}+i\wurzel{23}/2) x_{2}[/mm] =0
>
> irgendwie weiß ich nun gerade nicht, aufgrund der
> komplexen Zahlen, wie ich nun die Gleichung auflösen kann,
> bestimmt ist es leichter als ich denke... wäre nett, wenn
> mir hier jemand helfen könnte.
Es ist [mm]A-\lambda_1\cdot{}\mathbb{E}_2=\pmat{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{23}}{2}i&-2\\
3&\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{23}}{2}i}[/mm]
Nun kannst du doch schematisch ausrechnen, womit du Zeile 2 multipizieren musst, damit im Eintrag [mm]a_{21}[/mm] das Negative des Eintrags [mm]a_{11}[/mm], also [mm]\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{23}}{2}i[/mm] dasteht:
[mm]3\cdot{}x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{23}}{2}i[/mm], also [mm]x=\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{23}}{6}i[/mm]
Addiere also Zeile 1 auf das [mm]\left(\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{23}}{6}i}\right)[/mm]-fache von Zeile 2 ...
Dann bekommst du dort eine Nullzeile, und ein Eigenvektor ist schnell bestimmt.
Klappt's mit diesem Hinweis schon?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Fr 07.01.2011 | | Autor: | ICG |
So auf die schnelle hilft mir das gerade nicht, warum steh bei dir ein "minus" vor der komplexen Zahl?
oder bezieht sich das auf [mm] \lambda2 [/mm] ?
$ [mm] A-\lambda_1\cdot{}\mathbb{E}_2=\pmat{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{23}}{2}i&-2\\ 3&\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{23}}{2}i} [/mm] $
irgendwie kann ich dir noch nicht so ganz folgen, vielleicht muss ich mir das nachher nochmal in Ruhe anschauen, muss jetzt leider arbeiten, trotzdem danke für deine Hilfe.
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Hallo nochmal,
> So auf die schnelle hilft mir das gerade nicht, warum steh
> bei dir ein "minus" vor der komplexen Zahl?
Na, weil der [mm] $\operatorname{Kern}(A-\lambda_i\cdot{}\mathbb{E}_2)$ [/mm] zu berechnen ist.
> oder bezieht sich das auf [mm]\lambda2[/mm] ?
Nein, auf [mm] $\lambda_1$
[/mm]
Indizes kannst du mit dem Unterstrich machen: \lambda_{1} ergibt [mm] $\lambda_1$
[/mm]
>
> [mm]A-\lambda_1\cdot{}\mathbb{E}_2=\pmat{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{23}}{2}i&-2\\
3&\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{23}}{2}i}[/mm]
>
> irgendwie kann ich dir noch nicht so ganz folgen,
> vielleicht muss ich mir das nachher nochmal in Ruhe
> anschauen, muss jetzt leider arbeiten, trotzdem danke für
> deine Hilfe.
Ja, mache das. Kannst dich ja nochmal melden ...
Gruß
schachuzipus
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