Eigenwert: invertierte Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Mo 28.01.2008 | | Autor: | fkerber |
| Aufgabe | | Sei A [mm] \in K^{(n x n)} [/mm] eine invertierbare Matrix über einem Körper K und [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A. Zeigen Sie: [mm] \lambda \not= [/mm] 0 und [mm] \lambda^{-1} [/mm] ist ein Eigenwert von [mm] A^{-1}. [/mm] |
Hi!
Irgendwie tue ich mich mit solchen Aufgaben ohne konkreten Zahlen recht schwer , um nicht zu sagen, dass ich keinen Plan habe, wie ich da ran gehen soll.
Mein Gedanke war der folgende:
Ich habe eine beliebige Matrix, versuche den einen Eigenwert zu bestimmmen, dann die Matrix zu invertieren und dann wieder den entsprechenden Eigenwert zu bestimmen. Allerdings habe ich keinen Plan, ob mich das weiter bringt und wie ich es denn tatsächlich machen soll.
Könnt ihr mir da irgendwie weiter helfen?
Das wäre prima!
Vielen Dank!
Ciao, fkerber
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> Sei A [mm]\in K^{(n x n)}[/mm] eine invertierbare Matrix über einem
> Körper K und [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von A. Zeigen Sie:
> [mm]\lambda \not=[/mm] 0 und [mm]\lambda^{-1}[/mm] ist ein Eigenwert von
> [mm]A^{-1}.[/mm]
Hallo,
Du hast also eine invertierbare Matrix A mit Eigenwert [mm] \lambda [/mm] und zugehörigem Eigenvektor v gegeben.
Jetzt überlege Dir zuerst, warum [mm] \lambda [/mm] nicht =0 sein kann:
Wäre [mm] \lambda=0, [/mm] so gäbe es ja einen Vektor [mm] v\not=0 [/mm] mit Av=0. Wozu steht das im Widerspruch.
Den Rest bekommst Du dann so: [mm] v=Ev=A^{-1}Av= [/mm] ... und nun weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mo 28.01.2008 | | Autor: | fkerber |
Hi!
Hmm, ok, mit der Null komme ich glaube ich dahinter.
Ich versuchs mal so:
Wäre [mm] \lamdba [/mm] = 0, dann wäre auch die Determinante = 0 und somit A nicht invertierbar.
Kann man das so stehen lassen?
Zu: $ [mm] v=Ev=A^{-1}Av= [/mm] $
Also das E steht ja wohl für Einheitsmatrix? [mm] A^{-1}A [/mm] ist ja auch nichts anderes - das sehe ich doch richtig?!
Jetzt mal etwas praktischer. Wenn [mm] \lamdba [/mm] bspw. 2 wäre, dann müsste doch [mm] \lamdba^{-1} [/mm] = -2 sein, oder?
Und nun? Ich komm da einfach nicht weiter. Leider helfen auch Bücher und Vorlesung nicht weiter...
Ciao, fkerber
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> Hi!
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> Hmm, ok, mit der Null komme ich glaube ich dahinter.
> Ich versuchs mal so:
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> Wäre [mm]\lamdba[/mm] = 0, dann wäre auch die Determinante = 0
Das müßtest Du noch irgendwie glaubhaft begründen.
> und
> somit A nicht invertierbar.
> Kann man das so stehen lassen?
Wenn Du eine begründung dafür hast, daß die Det. =0 ist.
(Ich selbst würde über Kern und injektiv argumentieren, das kommt halt drauf an, was dran war.)
> Zu: [mm]v=Ev=A^{-1}Av=[/mm]
> Also das E steht ja wohl für Einheitsmatrix? [mm]A^{-1}A[/mm] ist
> ja auch nichts anderes - das sehe ich doch richtig?!
Völlig richtig.
>
> Jetzt mal etwas praktischer. Wenn [mm]\lamdba[/mm] bspw. 2 wäre,
> dann müsste doch [mm]\lamdba^{-1}[/mm] = -2 sein, oder?
Quark!!! Was bedeutet denn bitteschön "hoch minus 1"?
Rechne dies doch mal weiter aus. Über A ist ja etwas vorausgesetzt.
[mm] v=Ev=A^{-1}Av=A^{-1}(Av)= [/mm] ...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Mo 28.01.2008 | | Autor: | fkerber |
achja, natürlich quark - grad mal wieder das falsche Inverse erwischt - ich meinte natürlich 1/2
Ich denke mal weiter drüber nach.
Das einzige was über A vorausgesetzt ist, ist doch die Tatsache, dass A invertierbar ist und das es eine (n x n)-Matrix ist...
Oder übersehe ich was?
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... und daß [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert ist und v der dazugehörige Eigenvektor.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Di 29.01.2008 | | Autor: | fkerber |
Hallo!
Folgende Lösungsidee:
Wenn [mm] \lambda [/mm] = 0 ist, dann steht ja in diagonalisierter Form auf der Diagonalen eine 0. Berechne ich also die Determinante, dann ist die 0. Dann kann ich die Matrix nicht invertieren.
Betrachtet man nun die elementaren Zeilen-/ Spaltenumformungen um die Matrix zu diagonalisieren, dann verändern sie die Determinante doch nur insofern, als dass der Wert mit etwas multipliziert wird bzw. durch etwas dividiert wird. Null bleibt also Null. Deshalb ist wohl 0 nicht "erlaubt".
Jetzt zum Inversen:
Ich schreibe mir die Matrix diagonalisiert hin. Wenn ich sie invertieren will, dann schreibe ich mir die Einheitsmatrix daneben, mache die ursprüngliche Matrix durch Zeilenoperationen zur Einheitsmatrix und habe dann daneben die invertierte stehen.
Will ich also jetzt die Zeile in der [mm] \lambda [/mm] steht zu 1 machen, also das [mm] \lambda [/mm] zu 1, dann muss ich ja die ganze Zeile durch [mm] \lambda [/mm] machen. Dann steht ja in der (dann ehemaligen) Einheitsmatrix nebendran eben genau [mm] 1/\lambda
[/mm]
q.e.d.
Oder ist da noch ein Fehler drin?
Ciao, fkerber
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Hallo,
sehe ich es richtig, daß Du jetzt zu begründen versuchst, warum die Determinante einer Matrix mit dem Eigenwert 0 gleich 0 ist? (Was ja stimmt.)
> Folgende Lösungsidee:
> Wenn [mm]\lambda[/mm] = 0 ist, dann steht ja in diagonalisierter
> Form auf der Diagonalen eine 0.
Wir wissen doch gar nicht, ob die Matrix diagonalisierbar ist - es kann sogar sein, daß sie nicht ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist.
> Berechne ich also die
> Determinante, dann ist die 0.
Ich würde hier so vorgehen: sein v EV zum EW 0. Nun ergänze v zu einer Basis des [mm] K^n [/mm] und bestimme die darstellende Matrix von A bzgl dieser neuen Basis. Was ist deren Determinante?
Andere Möglichkeit: welche Eigenschaft hat eine Abbildung (nicht), die einen von Null verschiedenen Vektor auf den Nullvektor abbildet.
> Jetzt zum Inversen:
> Ich schreibe mir die Matrix diagonalisiert hin.
Diagonalisierbarkeit ist nicht vorausgesetzt.
Wir hatten doch [mm] Av=\lambda [/mm] v, [mm] v\not=0.
[/mm]
Warum berechnest Du nicht endlich mal [mm] v=A^{-1}(Av)=.... [/mm] ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Di 29.01.2008 | | Autor: | fkerber |
>
> Diagonalisierbarkeit ist nicht vorausgesetzt.
>
> Wir hatten doch [mm]Av=\lambda[/mm] v, [mm]v\not=0.[/mm]
> Warum berechnest Du nicht endlich mal [mm]v=A^{-1}(Av)=....[/mm]
> ???
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
Das ist natürlich dumm - da hast du recht - da war der Wunsch der Vater des Gedanken....
Warum ich das nicht berechne? Weil ich nicht weiß, was ich da berechnen soll. Ich sehe da ein [mm] \lambda, [/mm] das ich nicht kenne, ein A, das ich nicht kenne, ein [mm] A^{-1}, [/mm] das ich nicht kenne und ein v, das ich noch weniger kenne...
Damit kann ich leider nix anfangen, sry...
Ciao, fkerber
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> >
> > Diagonalisierbarkeit ist nicht vorausgesetzt.
> >
> > Wir hatten doch [mm]Av=\lambda[/mm] v, [mm]v\not=0.[/mm]
> > Warum berechnest Du nicht endlich mal [mm]v=A^{-1}(Av)=....[/mm]
>
> > ???
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> >
>
> Das ist natürlich dumm - da hast du recht - da war der
> Wunsch der Vater des Gedanken....
>
> Warum ich das nicht berechne? Weil ich nicht weiß, was ich
> da berechnen soll. Ich sehe da ein [mm]\lambda,[/mm] das ich nicht
> kenne, ein A, das ich nicht kenne, ein [mm]A^{-1},[/mm] das ich
> nicht kenne und ein v, das ich noch weniger kenne...
Ja, aber Du kennst Av !!! Das ist doch [mm] \lambda [/mm] v. Und dann weißt Du doch sicher ein bißchen etwas über die Multiplikation v. Matrizen und Vektoren.
Es ist doch - nur so als Beispiel - [mm] B(\mu x)=\mu [/mm] Bx. (Linearität).
Gruß v. Angela
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