Eigenwert eines Endomorphismus < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f ein Endomorphismus des Vektorraums [mm] \IR^{n} [/mm] über [mm] \IR [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 aus [mm] \IN [/mm] und [mm] \lambda_{1} \not=....= \lambda_{r}, [/mm] die sämtlichen Eigenwerte von f aus [mm] \IR. [/mm] Richtig oder falsch:
(1) r [mm] \le [/mm] n und r [mm] \ge [/mm] 1
(2) [mm] \summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) \le [/mm] n
(3) Aus r=n folgt [mm] \summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) [/mm] = n |
Hallo
ich habe mit dieser Aufgabe so meine Probleme und bräuchte etwas Hilfe.
Bei der ersten Aussage würde ich vermuten, dass sie falsch ist aber ohne wirkloiche Begründung. Meine Vermutung schließe ich daraus, dass es Matrizen gibt die keinen Eigenwert besitzen, also muss es doch auch Endomorphismen geben für die dies der Fall ist oder irre ich?... Wenn ich richtig liege wäre ja nicht immer r [mm] \ge [/mm] 1 gewährleistet.
Diese Aussage ist richtig. denn in der Vorlesung haben wir, dass für eine Diagonalmatrix gezeigt, dann muss es doch auch allgemein für einen Endomorphismus gelten oder?
Und die letzte Aussage würde ich sagen, dass es falsch ist. Denn es könnte ja eine Eigenwert doppelt auftreten und dann wär due [mm] dim_{\IR} [/mm] doch kleiner als n oder sehe ich das falsch?
Ich wäre über Hinweise sehr dankbar.
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei f ein Endomorphismus des Vektorraums [mm]\IR^{n}[/mm] über [mm]\IR[/mm]
> mit n [mm]\ge[/mm] 2 aus [mm]\IN[/mm] und [mm]\lambda_{1} \not=....= \lambda_{r},[/mm]
> die sämtlichen Eigenwerte von f aus [mm]\IR.[/mm] Richtig oder
> falsch:
> (1) r [mm]\le[/mm] n und r [mm]\ge[/mm] 1
> (2) [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) \le[/mm] n
> (3) Aus r=n folgt [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}})[/mm]
> = n
> Hallo
> ich habe mit dieser Aufgabe so meine Probleme und bräuchte
> etwas Hilfe.
>
> Bei der ersten Aussage würde ich vermuten, dass sie falsch
> ist aber ohne wirkloiche Begründung. Meine Vermutung
> schließe ich daraus, dass es Matrizen gibt die keinen
> Eigenwert besitzen, also muss es doch auch Endomorphismen
> geben für die dies der Fall ist oder irre ich?... Wenn ich
> richtig liege wäre ja nicht immer r [mm]\ge[/mm] 1 gewährleistet.
Du liegst richtig ! Gib mal eine relle Matrix an, ohne reelle Eigenwerte
>
> Diese Aussage ist richtig. denn in der Vorlesung haben wir,
> dass für eine Diagonalmatrix gezeigt, dann muss es doch
> auch allgemein für einen Endomorphismus gelten oder?
Ja, sie gilt. Denn wäre $ [mm] \summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) [/mm] > $ n, so gäbe es 2 Eigenwerte [mm] \lambda_i [/mm] und [mm] \lambda_j [/mm] mit [mm] \lambda_i \ne \lambda_j [/mm] und ein x [mm] \in V_{\lambda_i} \cap V_{\lambda_j} [/mm] mit x [mm] \ne [/mm] 0.
Dann ist [mm] $\lambda_i*x =f(x)=\lambda_j*x$. [/mm] Kann das sein ?
>
> Und die letzte Aussage würde ich sagen, dass es falsch
> ist. Denn es könnte ja eine Eigenwert doppelt auftreten
> und dann wär due [mm]dim_{\IR}[/mm] doch kleiner als n oder sehe
> ich das falsch?
Nein. Gib ein konkretes Beispiel an
FRED
>
> Ich wäre über Hinweise sehr dankbar.
>
> LG Schmetterfee
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> > Sei f ein Endomorphismus des Vektorraums [mm]\IR^{n}[/mm] über [mm]\IR[/mm]
> > mit n [mm]\ge[/mm] 2 aus [mm]\IN[/mm] und [mm]\lambda_{1} \not=....\not= \lambda_{r},[/mm]
> > die sämtlichen Eigenwerte von f aus [mm]\IR.[/mm] Richtig oder
> > falsch:
> > (1) r [mm]\le[/mm] n und r [mm]\ge[/mm] 1
> > (2) [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) \le[/mm] n
> > (3) Aus r=n folgt [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}})[/mm]
> > = n
> > Hallo
> > ich habe mit dieser Aufgabe so meine Probleme und bräuchte
> > etwas Hilfe.
> >
> > Bei der ersten Aussage würde ich vermuten, dass sie falsch
> > ist aber ohne wirkloiche Begründung. Meine Vermutung
> > schließe ich daraus, dass es Matrizen gibt die keinen
> > Eigenwert besitzen, also muss es doch auch Endomorphismen
> > geben für die dies der Fall ist oder irre ich?... Wenn ich
> > richtig liege wäre ja nicht immer r [mm]\ge[/mm] 1 gewährleistet.
>
>
> Du liegst richtig ! Gib mal eine relle Matrix an, ohne
> reelle Eigenwerte
>
>
na zum beispiel [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
> >
> > Diese Aussage ist richtig. denn in der Vorlesung haben wir,
> > dass für eine Diagonalmatrix gezeigt, dann muss es doch
> > auch allgemein für einen Endomorphismus gelten oder?
>
>
>
> Ja, sie gilt. Denn wäre [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) >[/mm]
> n, so gäbe es 2 Eigenwerte [mm]\lambda_i[/mm] und [mm]\lambda_j[/mm] mit
> [mm]\lambda_i \ne \lambda_j[/mm] und ein x [mm]\in V_{\lambda_i} \cap V_{\lambda_j}[/mm]
> mit x [mm]\ne[/mm] 0.
>
> Dann ist [mm]\lambda_i*x =f(x)=\lambda_j*x[/mm]. Kann das sein ?
nein das kann nicht sein,w eil laut Voraussetzung die [mm] \lambda [/mm] unterschieldich sind...
> >
> > Und die letzte Aussage würde ich sagen, dass es falsch
> > ist. Denn es könnte ja eine Eigenwert doppelt auftreten
> > und dann wär due [mm]dim_{\IR}[/mm] doch kleiner als n oder sehe
> > ich das falsch?
>
> Nein. Gib ein konkretes Beispiel an
das verstehe ich nicht...meinst du das mein Gedankengang falsch ist oder das ich das richtig sehe?..leider fällt mir hier kein konkretes beispiel ein...
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei f ein Endomorphismus des Vektorraums [mm]\IR^{n}[/mm] über [mm]\IR[/mm]
> > > mit n [mm]\ge[/mm] 2 aus [mm]\IN[/mm] und [mm]\lambda_{1} \not=....\not= \lambda_{r},[/mm]
> > > die sämtlichen Eigenwerte von f aus [mm]\IR.[/mm] Richtig oder
> > > falsch:
> > > (1) r [mm]\le[/mm] n und r [mm]\ge[/mm] 1
> > > (2) [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) \le[/mm]
> n
> > > (3) Aus r=n folgt [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}})[/mm]
> > > = n
> > > Hallo
> > > ich habe mit dieser Aufgabe so meine Probleme und bräuchte
> > > etwas Hilfe.
> > >
> > > Bei der ersten Aussage würde ich vermuten, dass sie falsch
> > > ist aber ohne wirkloiche Begründung. Meine Vermutung
> > > schließe ich daraus, dass es Matrizen gibt die keinen
> > > Eigenwert besitzen, also muss es doch auch Endomorphismen
> > > geben für die dies der Fall ist oder irre ich?... Wenn ich
> > > richtig liege wäre ja nicht immer r [mm]\ge[/mm] 1 gewährleistet.
> >
> >
> > Du liegst richtig ! Gib mal eine relle Matrix an, ohne
> > reelle Eigenwerte
> >
> >
> na zum beispiel [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm]
Prima !
> > >
> > > Diese Aussage ist richtig. denn in der Vorlesung haben wir,
> > > dass für eine Diagonalmatrix gezeigt, dann muss es doch
> > > auch allgemein für einen Endomorphismus gelten oder?
> >
> >
> >
> > Ja, sie gilt. Denn wäre [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) >[/mm]
> > n, so gäbe es 2 Eigenwerte [mm]\lambda_i[/mm] und [mm]\lambda_j[/mm] mit
> > [mm]\lambda_i \ne \lambda_j[/mm] und ein x [mm]\in V_{\lambda_i} \cap V_{\lambda_j}[/mm]
> > mit x [mm]\ne[/mm] 0.
> >
> > Dann ist [mm]\lambda_i*x =f(x)=\lambda_j*x[/mm]. Kann das sein ?
> nein das kann nicht sein,w eil laut Voraussetzung die
> [mm]\lambda[/mm] unterschieldich sind...
Richtig
> > >
> > > Und die letzte Aussage würde ich sagen, dass es falsch
> > > ist. Denn es könnte ja eine Eigenwert doppelt auftreten
> > > und dann wär due [mm]dim_{\IR}[/mm] doch kleiner als n oder sehe
> > > ich das falsch?
> >
> > Nein. Gib ein konkretes Beispiel an
> das verstehe ich nicht...meinst du das mein Gedankengang
> falsch ist oder das ich das richtig sehe?..
Mein "nein" bezog sich auf Deine Frage "oder sehe ich das falsch?" Du siehst es also richtig
> leider fällt
> mir hier kein konkretes beispiel ein...
Du gibst aber schnell auf ! Tipp: [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
Noch was zu dieser Frage: wenn $ [mm] \summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) [/mm] =n $ immer richtig , wäre, so wäre jeder Endomorphismus des [mm] \IR^n [/mm] diagonalisierbar !
FRED
>
> LG Schmetterfee
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> > > > Sei f ein Endomorphismus des Vektorraums [mm]\IR^{n}[/mm] über [mm]\IR[/mm]
> > > > mit n [mm]\ge[/mm] 2 aus [mm]\IN[/mm] und [mm]\lambda_{1} \not=....\not= \lambda_{r},[/mm]
> > > > die sämtlichen Eigenwerte von f aus [mm]\IR.[/mm] Richtig oder
> > > > falsch:
> > > > (1) r [mm]\le[/mm] n und r [mm]\ge[/mm] 1
> > > > (2) [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) \le[/mm]
> > n
> > > > (3) Aus r=n folgt [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}})[/mm]
> > > > = n
> > > > Hallo
> > > > Und die letzte Aussage würde ich sagen, dass es falsch
> > > > ist. Denn es könnte ja eine Eigenwert doppelt auftreten
> > > > und dann wär due [mm]dim_{\IR}[/mm] doch kleiner als n oder sehe
> > > > ich das falsch?
> > >
> > > Nein. Gib ein konkretes Beispiel an
> > das verstehe ich nicht...meinst du das mein
> Gedankengang
> > falsch ist oder das ich das richtig sehe?..
>
> Mein "nein" bezog sich auf Deine Frage "oder sehe ich das
> falsch?" Du siehst es also richtig
>
> > leider fällt
> > mir hier kein konkretes beispiel ein...
>
>
> Du gibst aber schnell auf ! Tipp: [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
>
> Noch was zu dieser Frage: wenn [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) =n[/mm]
> immer richtig , wäre, so wäre jeder Endomorphismus des
> [mm]\IR^n[/mm] diagonalisierbar !
>
es ist aber nicht jeder Endomorphismus diagonlisierbar, weil [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] hat als zwei fachen Eigenwert die 0. der Rang ist 1. Der Kern also der Eigenraum hat Dimeinsion 1. Es gibt elso keine Basis aus Eigenvektoren und somit ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
Ist das so korrekt?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Sei f ein Endomorphismus des Vektorraums [mm]\IR^{n}[/mm] über [mm]\IR[/mm]
> > > > > mit n [mm]\ge[/mm] 2 aus [mm]\IN[/mm] und [mm]\lambda_{1} \not=....\not= \lambda_{r},[/mm]
> > > > > die sämtlichen Eigenwerte von f aus [mm]\IR.[/mm] Richtig oder
> > > > > falsch:
> > > > > (1) r [mm]\le[/mm] n und r [mm]\ge[/mm] 1
> > > > > (2) [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) \le[/mm]
> > > n
> > > > > (3) Aus r=n folgt [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}})[/mm]
> > > > > = n
> > > > > Hallo
> > > > > Und die letzte Aussage würde ich sagen, dass es falsch
> > > > > ist. Denn es könnte ja eine Eigenwert doppelt auftreten
> > > > > und dann wär due [mm]dim_{\IR}[/mm] doch kleiner als n oder sehe
> > > > > ich das falsch?
> > > >
> > > > Nein. Gib ein konkretes Beispiel an
> > > das verstehe ich nicht...meinst du das mein
> > Gedankengang
> > > falsch ist oder das ich das richtig sehe?..
> >
> > Mein "nein" bezog sich auf Deine Frage "oder sehe ich das
> > falsch?" Du siehst es also richtig
> >
> > > leider fällt
> > > mir hier kein konkretes beispiel ein...
> >
> >
> > Du gibst aber schnell auf ! Tipp: [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> >
> > Noch was zu dieser Frage: wenn [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) =n[/mm]
> > immer richtig , wäre, so wäre jeder Endomorphismus des
> > [mm]\IR^n[/mm] diagonalisierbar !
> >
> es ist aber nicht jeder Endomorphismus diagonlisierbar,
> weil [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] hat als zwei fachen Eigenwert
> die 0. der Rang ist 1. Der Kern also der Eigenraum hat
> Dimeinsion 1. Es gibt elso keine Basis aus Eigenvektoren
> und somit ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
> Ist das so korrekt?
Korrekt
FRED
>
> LG Schmetterfee
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Danke für die Erklärungen. Es ist ein schönes Gefühl wenn es langsam Klick macht und man beginnt zu verstehen...
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 02:21 Do 13.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Noch was zu dieser Frage: wenn [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) =n[/mm]
> immer richtig , wäre, so wäre jeder Endomorphismus des
> [mm]\IR^n[/mm] diagonalisierbar !
Völlig richtig, aber du hast anscheinend einen kleinen Teil der Aufgabenstellung überlesen: In Aufgabenteil (3) geht es um den Spezialfall $r=n$, also den Fall, dass f n p.w. verschiedene Eigenwerte hat. Die Aussage (3) ist richtig.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Do 13.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fred,
> Denn wäre [mm]\summe_{i=1}^{r} dim_{\IR} (V_{\lambda_{i}}) >[/mm]
> n, so gäbe es 2 Eigenwerte [mm]\lambda_i[/mm] und [mm]\lambda_j[/mm] mit
> [mm]\lambda_i \ne \lambda_j[/mm] und ein x [mm]\in V_{\lambda_i} \cap V_{\lambda_j}[/mm]
> mit x [mm]\ne[/mm] 0.
Bist du dir sicher, dass du diese Folgerung direkt ziehen kannst? Könntest du sie etwas näher begründen? (Wenn da statt Eigenräumen beliebige Unterräume [mm] $0\not=W_i\subset\IR^n$, $i=1,\ldots,n$, [/mm] ständen, könntest du aus [mm] $\summe_{i=1}^n\operatorname{dim}_\IR W_i>n$ [/mm] ja nicht schließen, dass [mm] $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] mit [mm] $i\not=j$ [/mm] und ein Vektor [mm] $x\in W_i\cap W_j$ [/mm] mit [mm] $x\not=0$ [/mm] existieren.)
Viele Grüße
Tobias
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