Eigenwert einer Matrix < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
Hab da ein kleines Problem:
Ich soll zum einen die Eigenwerte der Matrix:
1 0 3
3 -2 -1
1 -1 1
bestimmen! Soweit so gut: x1=-3 ; x2=1; x3=2
So und 2. Teil der Aufgabe ist nun ich soll zu jedem Eigenwert eine Basis des Eigenraumes über R und über C bestimmen
Zum einen habe ich ein kleines Problem mit den Begrifflichkeiten und zum anderen, wie muß ich das rechnen?
Wäre dankbar für eure Hilfe
Wolve
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Danke für die Schnelle Antwort.
Ich habe mir den Thread einmal in Ruhe durchgelesen, nur leider hilft mir das in Bezug des Eigenraumes nicht weiter.
Ich weiß einfach nicht genau, wie ich das berechnen soll.
Kannst du mir nicht anhand meiner AUfgabe einen konkreten ANsatz dafür geben, das würde mir bestimmt bedeutend weiterhelfen.
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Wolferine
Also, die Eigenwerte hast du ja bereits:
[mm] $EW_1=-3$
[/mm]
[mm] $EW_2=1$
[/mm]
[mm] $EW_1=2$
[/mm]
Die Abbildungsmatrix ist:
[mm] $\pmat{1&0&3\\3&-2&-1\\1&-1&1}$
[/mm]
Um die Eigenvektoren zu bestimmen, musst du für jeden Eigenwert, wie bereits in der 1. Antwort gesagt: das folgende Gleichungssystem lösen:
[mm] $\pmat{1-EW_{n}&0&3\\3&-2-EW_{n}&-1\\1&-1&1-EW_{n}}*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Ich zeigs mal für den Eigenwert 2, die anderen machst du dann bitte selber:
Zu lösen ist also:
[mm] $\pmat{-1&0&3\\3&-4&-1\\1&-1&-1}*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Als Gleichungssystem geschrieben sähe das so aus:
$-x+3z=0_$
$3x-4y-z=0_$
$x-y-z=0_$
Das solltest du selber lösen können. Ich erhalte:
[mm] $\vektor{x\\y\\z}=\lambda*\vektor{3\\2\\1}$
[/mm]
Der Vektor [mm] $\vektor{3\\2\\1}$ [/mm] ist also ein Eigenvektor zum Eigenwert $2_$.
Der durch ihn aufgespannte Unterraum, also ein Eigenraum, ist die oben angegebene allgemeine Lösung des Gleichungssystems.
Du kannst und sollst überprüfen, ob die nun wirklich ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 ist, indem du die Matrix mal auf den Vektor loslässt und schaust, ob der Vketor wirklich einfach um den Faktor 2 gestreckt wird.
Also:
[mm] $\pmat{1&0&3\\3&-2&-1\\1&-1&1}*\vektor{3\\2\\1}=\vektor{6\\4\\2}$
[/mm]
Das scheint sogar zuzutreffen. Ich bin ein Glückspilz! 
In diesem Beispiel sind alle drei Eigenräume eindimensional, sind also, bildlich gesprochen, Geraden.
Weil alle Eigenwerte reell sind, hat die Unterscheidung in "Vektorraum über C" und "Vektorraum über R" hier keine Bedeutung. Die Lösungen sind identisch. (Sie wären es nicht, wenn mindestens einer der Eigenwerte nicht reell, also komplex, wäre)
Mit lieben Grüssen
Paul
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Wow, was für eine saubere Antwort!
Vielen Dank, ich hab's nun wohl verstanden!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Mo 14.03.2005 | | Autor: | malte.t |
@Paulus, Deine Antwort ist wirklich super, aber ich bin gerade bei einer Basicverzweifelung:
Wie löse ich das Gleichungssystem?
Wenn ich immer schön einsetze und mitnehmen, kommt doch überall 0 raus? Wenn ich es gleich [mm] \lambda [/mm] setze, kommt was falsches raus?
Mit dem Gaus Algorithmus vereinfachen klappt auch nicht :-(
ich mache es einfach mal vor und hoffe dass mir jemand einen Zaun mit dem Winkpfahl gegen kann:
-x+3z=0
3x-4y-z=0
x-y-z=0
----
x=3z
3(3z)-4y-z=0
-> -10z-4y=0
y=-5/2z
3z+5/2z-z=0
13/2z=0 ???? z=0 :(
BITTE! ICH BRAUCHE HILFE !!!!!!!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Mo 14.03.2005 | | Autor: | malte.t |
Ich entschuldige mich bei den Mathegöttern, die ich erzürnt habe - da hab ich ja mal ganz schön lange auf dem Schlauch gestanden....
Keine Antwort mehr erforderlich!
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hier![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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du hast [mm] 3*3z-4y-z=8z-4y\gdw{y=2z}
[/mm]
