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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Eigenwert bestimmen
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Eigenwert bestimmen: 3X3-Matrix
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:16 Mi 01.10.2008
Autor: RuffY

Aufgabe
Bestimme die Eigenwerte/ Eigenvektoren:

[mm] B=\pmat{ 0 & -1 & 1 \\ -7 & 0 & 5 \\ -5 & -2 & 5 } [/mm]

Hallo... noch eine kleine Aufgabe zu Eigenwerten habe ich zu lösen, komme an folgendem Punkt nicht weiter:

[mm] B=\pmat{ 0 & -1 & 1 \\ -7 & 0 & 5 \\ -5 & -2 & 5 } [/mm]

[mm] (B-\lambda*E)*\vec{x}=0 [/mm]

[mm] B=\pmat{ -\lambda & -1 & 1 \\ -7 & -\lambda & 5 \\ -5 & -2 & 5-\lambda } [/mm]

...aus Berechnung (hab ich mit LaPlace und Sarrus versucht) habe ich heraus:

[mm] 0=-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-\lambda^{1}+24 [/mm]

...mein Problem nun, dass ich mir Horner-Schema das ganze auflösen will, aber welche NS hat das Ding?!

Könnt ihr evt. helfen?

Grüße

Sebastian


        
Bezug
Eigenwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:42 Mi 01.10.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Sebastian,

> Bestimme die Eigenwerte/ Eigenvektoren:
>  
> [mm]B=\pmat{ 0 & -1 & 1 \\ -7 & 0 & 5 \\ -5 & -2 & 5 }[/mm]
>  
> Hallo... noch eine kleine Aufgabe zu Eigenwerten habe ich
> zu lösen, komme an folgendem Punkt nicht weiter:
>  
> [mm]B=\pmat{ 0 & -1 & 1 \\ -7 & 0 & 5 \\ -5 & -2 & 5 }[/mm]
>  
> [mm](B-\lambda*E)*\vec{x}=0[/mm]
>  
> [mm]B=\pmat{ -\lambda & -1 & 1 \\ -7 & -\lambda & 5 \\ -5 & -2 & 5-\lambda }[/mm]

[ok] jo, richtiger Ansatz!

>  
> ...aus Berechnung (hab ich mit LaPlace und Sarrus versucht)
> habe ich heraus:
>  
> [mm]0=-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-\lambda^{1}+24[/mm] [notok]

Das stimmt m.E. nicht, ich komme mit Sarrus auf

[mm] $cp(\lambda)=-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4$ [/mm]

Eine NST ist offensichtlich [mm] $\lambda=1$, [/mm] also ...


>  
> ...mein Problem nun, dass ich mir Horner-Schema das ganze
> auflösen will, aber welche NS hat das Ding?!
>  
> Könnt ihr evt. helfen?

Jo, ich hoffe es ;-)

>  
> Grüße
>  
> Sebastian
>  

LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Eigenwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Do 02.10.2008
Autor: RuffY

...nach etwas Schlaf und einem zweiten Versuch bin ich drauf gekommen! Wie bestimme ich jetzt die Eigenvektoren zu den ents. Werten?

Grüße

Sebastian
Bezug
                        
Bezug
Eigenwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Do 02.10.2008
Autor: Teufel

Hallo!

Du kannst jetzt die Eigenwerte einsetzen und die entstehenden LGS lösen.

Also [mm] (B-\lambda*E)*\vec{x}=0 [/mm] mit [mm] \lambda=1 [/mm] und [mm] \lambda=2 [/mm] eingesetzt.

[anon] Teufel
Bezug
                                
Bezug
Eigenwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Do 02.10.2008
Autor: RuffY

wenn ich das jetzt für [mm] \lambda [/mm] einsetzte, bekomme ich:

[mm] \pmat{ -1 & -1 & 1 \\ -7 & -1 & 5 \\ -5 & -2 & 4 } [/mm]

Lösung soll aber sein:

[mm] x=t*\vektor{2 \\ 1 \\ 3 } [/mm]

bzw.

[mm] x=t*\vektor{-1 \\ 1 \\ -1 } [/mm]

kannst du mir evt. die Schritte erläutern?
Bezug
                                        
Bezug
Eigenwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Do 02.10.2008
Autor: Teufel

Klar :)

Du musst ja jetzt die Eigenvektoren für jeden Eigenwert bestimmen. Ich fange mal mit [mm] \lambda=1 [/mm] an.

Wenn du das in deine Gleichung einsetzt, erhälst du:

[mm] \pmat{ -1 & -1 & 1 \\ -7 & -1 & 5 \\ -5 & -2 & 1}*\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]

Und daraus kannst du ja folgendes LGS machen:

[mm] \vmat{ -x-y+z=0 \\ -7x-y+5z=0 \\ -5x-2y+z=0 } [/mm]

Und daraus erhälst du dann unendlich viele Lösungen, also nicht nur einen Eigenvektor, wie dir die Lösung schon gezeigt hat (wegen dem Parameter t).

[anon] Teufel
Bezug
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