www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwert, Eigenraum
Eigenwert, Eigenraum < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenwert, Eigenraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Mo 23.04.2012
Autor: theresetom

Aufgabe
Bestimme alle Eigenwerte und Eigenräume der Matrix, wobei [mm] \lambda \in \IK. [/mm] Ist A diagonalisierbar?
[mm] A=\pmat{ \lambda & 1&& \\ &\lambda&\ddots& \\&&\ddots&1\\&&&\lambda} [/mm]
wo nichts steht ist eine 0

s..Eigenwert
Ich weiß ja nicht wie groß die Matrix ist, also nehme ich einen belieben wert k an?
0= det(A-s*I) [mm] =\pmat{ \lambda -s & 1&& \\ &\lambda-s&\ddots& \\&&\ddots&1\\&&&\lambda-s} [/mm] = [mm] (\lambda-s)^k [/mm]

[mm] 0=\lambda [/mm] - s
s= [mm] \lambda [/mm]
STimmt das?

Eigenraum [mm] \lambda [/mm] = [mm] ker(A-\lambda I_k [/mm] ) = [mm] ker\pmat{ 0 & 1&& \\ &0&\ddots& \\&&\ddots&1\\&&&0} [/mm]
der Kern wird aufgespannt vom vektor  [mm] <\pmat{0\\0\\\vdots\\0\\1}> [/mm]
Da bin ich mir unsicher..


        
Bezug
Eigenwert, Eigenraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Mo 23.04.2012
Autor: wieschoo


> Bestimme alle Eigenwerte und Eigenräume der Matrix, wobei
> [mm]\lambda \in \IK.[/mm] Ist A diagonalisierbar?
>  [mm]A=\pmat{ \lambda & 1&& \\ &\lambda&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&\lambda}[/mm]
>  
> wo nichts steht ist eine 0
>  s..Eigenwert
>  Ich weiß ja nicht wie groß die Matrix ist, also nehme
> ich einen belieben wert k an?
>  0= det(A-s*I) [mm]=\blue{\operatorname{det}(}\pmat{ \lambda -s & 1&& \\ &\lambda-s&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&\lambda-s}\blue{)}[/mm]
> = [mm](\lambda-s)^k[/mm]
>  
> [mm]0=\lambda[/mm] - s
>  s= [mm]\lambda[/mm]
> STimmt das?

Die Eigenwerte sind schon die [mm] $\lambda$'s. [/mm] Kann man ja direkt ablesen.

>  
> Eigenraum [mm]\lambda[/mm] = [mm]ker(A-\lambda I_k[/mm] ) = [mm]ker\pmat{ 0 & 1&& \\ &0&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&0}[/mm]
>  
> der Kern wird aufgespannt vom vektor  
> [mm]<\pmat{0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 1}>[/mm]
>  Da bin ich mir unsicher..
>

Dan rechne doch einmal [mm]\pmat{ 0 & 1&& \\ &0&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&0}\cdot\pmat{0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 1}[/mm] nach. Und kommt Null raus?

gruß
WIESCHOO

Bezug
                
Bezug
Eigenwert, Eigenraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Mo 23.04.2012
Autor: theresetom

Nein

$ [mm] \pmat{ 0 & 1&& \\ &0&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&0}\cdot\pmat{1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 0} [/mm] $
Also spannt [mm] <\pmat{1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 0}> [/mm] den Kern auf.

Frage: Ist A diagonlaisierbar?
Der Kern ist 1 dimensional.
Aber ich weiß nicht wieviele Spalten meine Matrix hat. Wenn die Matrix nur 1 zeile und Spalte hat - ist sie diagonalisierbar.


Bezug
                        
Bezug
Eigenwert, Eigenraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Mo 23.04.2012
Autor: wieschoo


> Nein
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 1&& \\ &0&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&0}\cdot\pmat{1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 0}[/mm]
> Also spannt [mm]<\pmat{1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 0}>[/mm] den Kern auf.
>

Ich kann ja meine Frage noch einmal stellen ;-)
Gilt denn [mm]\pmat{ 0 & 1&& \\ &0&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&0}\cdot\pmat{0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 1}=\vec{0}[/mm] ?
Ja das ist der Kern.

> Frage: Ist A diagonlaisierbar?
>  Der Kern ist 1 dimensional.
> Aber ich weiß nicht wieviele Spalten meine Matrix hat.
> Wenn die Matrix nur 1 zeile und Spalte hat - ist sie
> diagonalisierbar.
>

Genauso ist es.

Bezug
                                
Bezug
Eigenwert, Eigenraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:41 Mo 23.04.2012
Autor: theresetom

danke,lg

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]