Eigenwert:Basis d. Eigenraumes < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 So 12.12.2010 | | Autor: | bobbert |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte d. Matrix
[mm] \pmat{ 3 &- 2 & 2\\ 2 & - 1 & 2\\-3 & 2 & -1\\}
[/mm]
und zu jedem Eigenwert eine Basis des Eigenraumes: (a) über [mm] \IR [/mm] (b) über [mm] \IC. [/mm] |
Hi habe eine Frage zu den Eigenräumen:
Habe als Eigenwerte [mm] \lambda_3= [/mm] 1 , [mm] \lambda_2= [/mm] i [mm] ,\lambda_1= [/mm] -i berechnet.
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Nun will ich die Eigenräume bestimmen mit [mm] \lambda_2= [/mm] i
(1)I-A= [mm] \pmat{ i-3 & 2 & -2 & (+III)\\ -2 & i+1 & -2\\ 3 & -2 & i+1\\}
[/mm]
= [mm] \pmat{ i & 0 & i-1 & *(-i)\\ -2 & i+1 & -2\\ 3 & -2 & i+1\\}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \\ -2 & i+1 & -2 &(+2I) \\ 3 & -2 & i+1&(-3I)\\}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& i+1 & -2 & *(i)\\ 0 & -2 & i+1 & *(i)\\}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & -2i & *(i)\\ 0 & -2i & 0 & *(i)\\}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & -3 & *(/-3)\\ 0 & -3 & 0 & /(-3) tausche I mit II\\}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\}
[/mm]
Wieso kommt hier eine Perfekte Einheitsmatrix raus?
Ich will hier aber eine Lineare Hülle herausbekommen:
beipielsweise [mm] E(i)=\vektor{x _1\\x_2 \\x_3} =\vektor{-i+1x _3\\1x_3 \\1x_3} [/mm] = [mm] x_3 \vektor{-i+1\\1 \\1}oder [/mm] ähnliches.
Was habe ich falsch gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 So 12.12.2010 | | Autor: | bobbert |
Ich habe diese Frage nirgendwo anders gepostet.
Vielen Dank im Voraus für die Antwort!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:53 So 12.12.2010 | | Autor: | bobbert |
Offene Frage
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Hallo bobbert,
> Bestimmen Sie die Eigenwerte d. Matrix
> [mm]\pmat{ 3 &- 2 & 2\\ 2 & - 1 & 2\\-3 & 2 & -1\\}[/mm]
> und zu
> jedem Eigenwert eine Basis des Eigenraumes: (a) über [mm]\IR[/mm]
> (b) über [mm]\IC.[/mm]
> Hi habe eine Frage zu den Eigenräumen:
>
> Habe als Eigenwerte [mm]\lambda_3=[/mm] 1 , [mm]\lambda_2=[/mm] i [mm],\lambda_1=[/mm]
> -i berechnet.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> --------------------------------------------------------------------------------------------------
> Nun will ich die Eigenräume bestimmen mit [mm]\lambda_2=[/mm] i
> (1)I-A= [mm]\pmat{ i-3 & 2 & -2 & (+III)\\ -2 & i+1 & -2\\ 3 & -2 & i+1\\}[/mm]
>
>
> = [mm]\pmat{ i & 0 & i-1 & *(-i)\\ -2 & i+1 & -2\\ 3 & -2 & i+1\\}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \\ -2 & i+1 & -2 &(+2I) \\ 3 & -2 & i+1&(-3I)\\}[/mm]
>
Hier muss stehen:
[mm]\pmat{ 1 & 0 & \red{i+1} & \\ -2 & i+1 & -2 &(+2I) \\ 3 & -2 & i+1&(-3I)\\}[/mm]
>
>
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& i+1 & -2 & *(i)\\ 0 & -2 & i+1 & *(i)\\}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & -2i & *(i)\\ 0 & -2i & 0 & *(i)\\}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & -3 & *(/-3)\\ 0 & -3 & 0 & /(-3) tausche I mit II\\}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\}[/mm]
>
>
> Wieso kommt hier eine Perfekte Einheitsmatrix raus?
> Ich will hier aber eine Lineare Hülle herausbekommen:
> beipielsweise [mm]E(i)=\vektor{x _1\\x_2 \\x_3} =\vektor{-i+1x _3\\1x_3 \\1x_3}[/mm]
> = [mm]x_3 \vektor{-i+1\\1 \\1}oder[/mm] ähnliches.
> Was habe ich falsch gemacht?
>
Siehe oben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 So 12.12.2010 | | Autor: | bobbert |
Hallo MathePower ,
vielen Dank für deine Antwort.
> > = [mm]\pmat{ i & 0 & i-1 & *(-i)\\ -2 & i+1 & -2\\ 3 & -2 & i+1\\}[/mm]
>
> Hier muss stehen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & \red{i+1} & \\ -2 & i+1 & -2 &(+2I) \\ 3 & -2 & i+1&(-3I)\\}[/mm]
Aber (i-1) * (-1) sind doch (1-1) = 0
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Hallo bobbert,
> Hallo MathePower ,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> > > = [mm]\pmat{ i & 0 & i-1 & *(-i)\\ -2 & i+1 & -2\\ 3 & -2 & i+1\\}[/mm]
>
> >
> > Hier muss stehen:
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 0 & \red{i+1} & \\ -2 & i+1 & -2 &(+2I) \\ 3 & -2 & i+1&(-3I)\\}[/mm]
>
> Aber (i-1) * (-1) sind doch (1-1) = 0
>
Nein.
[mm]\left(i-1\right)*\left(-i\right)=i*\left(-i\right)-1*\left(-i\right)=-i^{2}+i=1+i[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 So 12.12.2010 | | Autor: | bobbert |
Ohhh man! Vollkommen richtig ! Meine Güte... Vielen Dank ! : )
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