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Hi Leute,
gehe gerade das Kapitel Eigenwerte nochmal durch und dabei habe ich ein kleines Problem mit 2 Sätzen.
1.
Ist eine Matrix A diagonalisierbar, so ist die Summe [mm] U\lambda1 [/mm] (A) + [mm] U\lambda2 [/mm] (A) + [mm] U\lambda3 [/mm] (A) + [mm] U\lambda4 [/mm] (A) + ... + [mm] U\lambdax [/mm] (A) = [mm] \IR^{n}
[/mm]
2.
Enthält A eine Nullzeile so ist det(A) = 0 [mm] \gdw [/mm] Rang (A) < n [mm] \gdw [/mm] Die Zeilen A1, ... , An von sind linear abhängig.
Nun meine Problem:
Eine Diagonalisierte Matrix hat nur in der Hauptdiagonalen Werte ungleich 0 stehen. Ist nun ein Eigenwert 0, so existiert eine Nullzeile. Somit ist der Rang der diagonalisierten Matrix < n. Jedoch kann dann der Lösungsraum aller Eigenwerte nicht der [mm] \IR^{n} [/mm] sein (wie in 1.).
ODER???
Mein Rückschluss wäre deshalb, dass diagonalisierbare Matrizen nur Eigenwerte besitzen die ungleich 0 sind.
Für eine Bestätigung bzw. einer Widerlegung meiner Idee bin ich sehr dankbar.
Gruß
Prof.
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Hallo!
Ich gehe mal davon aus, dass du mit [mm] $U_\lamba(A)$ [/mm] den Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] bezeichnest, oder?
Naja, jedenfalls hat eine Matrix, die den Eigenwert $0$ hat, dann ja auch (mindestens) einen Eigenvektor zum Eigenwert $0$. Entsprechend ist [mm] $U_0(A)$ [/mm] dann keineswegs leer.
Zu deiner Frage, ob diagonalisierbare Matrizen nie $0$ als Eigenwert haben können: Die Matrix [mm] $\pmat{0&0\\0&0}$ [/mm] liefert bereits ein Gegenbeispiel...
Gruß, banachella
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