Eigenwert <-> positiv definit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 So 30.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo!
Meine letzte Frage für Heute ist folgende:
Ich bin gerade dabei ein Ringschluss zu machen und mir fehlt noch der letzte Beweis:
Die Voraussetzungen: Es gibt eine Transformationsmatrix S [mm] \in [/mm] GL(n+m, [mm] \IR) [/mm] ,
so dass [mm] S^T [/mm] AS = [mm] \pmat{ E_m & 0 \\ 0 & E_n - B^T B } [/mm]
B [mm] \in [/mm] M(m [mm] \times [/mm] n, [mm] \IR) [/mm] und A = [mm] \pmat{ E_m & B \\ B^T & E_n } \in M(m+n,\IR)
[/mm]
und nun soll ich zeigen, dass aus
(i) Alle Eigenwerte von [mm] B^T [/mm] B sind kleiner als 1 [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) [mm] E_n [/mm] - [mm] B^T [/mm] B ist positiv definit.
Nun habe ich erstmal einen Untervektorraum [mm] W\subseteq \IR^{m+n} [/mm] definiert mit dim W = n, weil zu zeigen ist das [mm] x^T(E_n [/mm] - [mm] B^T [/mm] B)x> 0 .
Jetzt komme ich nicht weiter, weil ich nicht weiß wie ich die Voraussetzung, das alle Eigenwerte von [mm] B^T [/mm] B sind kleiner als 1 sind, benutzen kann.
Könnte mir jemand helfen?
Danke, Gruß
Tito
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mo 31.01.2005 | | Autor: | felixs |
morgen.
> und nun soll ich zeigen, dass aus
> (i) Alle Eigenwerte von [mm]B^T[/mm] B sind kleiner als 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] (ii) [mm]E_n[/mm] - [mm]B^T[/mm] B ist positiv definit.
ich glaube mal dafuer eine loesung zu haben...
vorweg:
$A:=B^TB$ ist positiv semidefinit. und alle eigenwerte [mm] $\geq [/mm] 0$ (das beweise ich jetzt mal nicht). damit sind alle EW betragsmaessig $ < 1$.
und:
sei [mm] $\alpha$ [/mm] der betragsgroesste EW von $A$, dann laesst sich $|Ax|$ durch [mm] $\alpha [/mm] |x|$ nach unten abschaetzen. [mm] $\Rightarrow [/mm] |Ax|<|x|$.
dass das so stimmt ist noch zu verifizieren. vielleicht hilft google->'spektralnorm'.
und jetzt die eigentliche idee:
Angenommen $A$ ist nicht pos. def. $ [mm] \Rightarrow \exists [/mm] x: [mm] x^T(E-A)x \leq [/mm] 0$. maW $ [mm] \langle [/mm] x, Ax [mm] \rangle \geq \langle [/mm] x,x [mm] \rangle [/mm] $.
da |A| pos. def ist kannich betragsstriche einbauen:
$ | [mm] \langle [/mm] x, Ax [mm] \rangle [/mm] | [mm] \geq |x|\cdot|x| [/mm] $.
und mit cauchy schwarz folgt:
$ [mm] |x|\cdot|Ax| \geq |x|\cdot|x| [/mm] $.
das steht im widerspruch zu [mm] |A \cdot x| < |x|[/mm].
gruss
--felix
PS: achte ein wenig auf dein typesetting, i.e. formeln zu formeln und text zu text. liest sich besser.
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