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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 So 11.07.2010 | | Autor: | muss_ |
| Aufgabe | Seien A;B 2 [mm] C^{nxn}, [/mm] wobei B diagonalisierbar sei.
Zeigen Sie:
Wenn kein Eigenwert von A auch Eigenwert von B ist, so besitzt die Matrixgleichung
AX = XB nur die Nullmatrix als Lösung. |
ich habe die Aufgabe irgendwie gelöst aber bin mir nicht sicher.
Annahme : X ist keine Nullmatrix
sei v EV von B zu EW [mm] \lambda [/mm] dann
B*v = [mm] \lambda*v
[/mm]
A*X*v = X*B*v
A*X*v = [mm] \lambda*X*v
[/mm]
Daraus kann man folgern dass [mm] \lambda [/mm] EW von A ist welches zu einem Widerspruch führt...
Es ging viel zu leicht und ich habe die Diagonalisierbarkeit garnicht benutzt???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 So 11.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich glaube, dass du noch den Fall betrachten musst, dass Xv=0 ist. Das kann ja passieren.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> Seien A;B 2 [mm]C^{nxn},[/mm] wobei B diagonalisierbar sei.
> Zeigen Sie:
> Wenn kein Eigenwert von A auch Eigenwert von B ist, so
> besitzt die Matrixgleichung
> AX = XB nur die Nullmatrix als Lösung.
> ich habe die Aufgabe irgendwie gelöst aber bin mir nicht
> sicher.
>
> Annahme : X ist keine Nullmatrix
> sei v EV von B zu EW [mm]\lambda[/mm] dann
> B*v = [mm]\lambda*v[/mm]
> A*X*v = X*B*v
> A*X*v = [mm]\lambda*X*v[/mm]
> Daraus kann man folgern dass [mm]\lambda[/mm] EW von A ist welches
> zu einem Widerspruch führt...
>
> Es ging viel zu leicht und ich habe die
> Diagonalisierbarkeit garnicht benutzt???
Hallo muss_ ,
du nimmst offenbar an, dass der Vektor w:=X*v ein
Eigenvektor von A sein müsse, denn du hast ja [mm] A*w=\lambda*w [/mm] .
Damit w aber Eigenvektor sein könnte, müsste garantiert
sein, dass w nicht der Nullvektor sein kann.
Für den Nachweis, dass dies wirklich so ist, kannst du eben
wohl genau noch die zusätzliche Voraussetzung der Diago-
nalisierbarkeit einsetzen.
LG Al-Chw.
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