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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:35 Mi 07.07.2010 | | Autor: | newneo |
Hallo liebe Leute!
Ich bin neu hier und hätte gleich mal eine erste Frage zur diagonalisierbarkeit einer Matrix mittels Eigenwerten und Eigenvektoren. 
Könnte mir vielleicht jemand erklären was man mit Eigenvektoren und Eigenwerten eigentlich machen kann (ich meine in Naturwissenschaft und Technik). Ich meine durch die Eigenwerte, wird doch eine Matrix A diagonalisierbar. Aber was bringt mir das eigentlich? Ich meine welchen Vorteil habe ich dadurch in der Praxis? Anschauliche Beispiele aus der Praxis wären super!
Danke, euer
Neo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
also ich kenne da zum Bsp. eine sehr wichtige Anwendung aus der Regelungstechnik bzw. lineare Systemtheorie. Dabei ist ein lineares System entweder durch eine Differentialgleichung höherer Ordnung, oder durch ein System linearer DGL 1.Ordnung beschreibbar. Dabei werden die Koeffizienten in einer A-Matrix zusammengefasst. Mit den Eigenwerten dieser A-Matrix kann man Aussagen über die Stabilität des betrachteten Systems machen. Sind die Realteile aller Eigenwerte kleiner als 0, ist das System stabil, andernfalls instabil. Dafür benötigt man die Eigenvektoren allerdings nicht.
Ich lass die Frage mal auf halb beantwortet, in der Hoffnung dass noch jemand eine andere Anwendung kennt.
Gruß Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:38 Do 08.07.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Neo,
in der Physik ist ein Beispiel, das einem gleich im ersten Semester begegnet, der Trägheitstensor.
Diagonalisiert man diesen so sind die Eigenvektoren die Hauptträgheitsachsen des betrachteten Körpers, die dazugehörigen Eigenwerte die zu den Achsen gehörigen Trägheitsmomente.
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:59 Do 08.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
um das ein wenig zu ergaenzen:
> in der Physik ist ein Beispiel, das einem gleich im ersten
> Semester begegnet, der Trägheitstensor.
> Diagonalisiert man diesen so sind die Eigenvektoren die
> Hauptträgheitsachsen des betrachteten Körpers, die
> dazugehörigen Eigenwerte die zu den Achsen gehörigen
> Trägheitsmomente.
Hier braucht man, dass man mit Hilfe der Basis aus Eigenvektoren den Tensor (also die Matrix) sehr einfach darstellen kann -- naemlich als Diagonalmatrix. In diesem Koordinatensystem kann man sofort sehen was passiert, also hier konkret, was die Traegheit so macht.
Ein anderes aehnliches Beispiel ist der Spannungstensor. Der sagt dir in einem Punkt z.B. in einem Haus, wie Spannungen dort wirken. Und in diagonalisierter Form ist das besonders einfach, da man dann keine Schubspannungen hat. Ohne die ist es wesentlich einfacher zu verstehen, was da gerade passiert.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 09.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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