Eigenvektoren zweier Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Di 17.05.2005 | | Autor: | zachi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zeige: Sind A, B [mm] \in M_{n} (\IC) [/mm] vertauschbar, also AB = BA, so haben sie einen gemeinsamen Eigenvektor [mm] \not= [/mm] 0.
Ich hab da schon mal ein bisschen rumprobiert, komm aber nicht wirklich auf nen grünen Zweig. Ich habs über den Ansatz für die Berechnung des Eignevektors einer Matrix A
(A - [mm] \lambdaE) [/mm] * x = 0
probiert. Wobei x der Eigenvektor, [mm] \lambda [/mm] der Eigenwert und E die Einheitsmatrix ist. Hab die Gleichung für A und B angesetzt und versucht, ob ich über die Bedingung AB = BA irgendwie auf [mm] x_{A} [/mm] = [mm] x_{B} [/mm] komm. Leider ohne Erfolg. Evtl gehts auch irgendwie mit der Jordanmatrix.
Für Hilfe wär ich echt dankbar
MfG
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Nachfolgender Text weißt in meinen Augen zumindest einen Fehler auf:
in der Gleichung: AB(v) = A(B(v)) = A(v) = u setze ich vorraus, dass B(v) = v gilt; dies ist jedoch nur bei einem Eigenvektor zum Eigenwert 1 der Fall, was die Allgemeinheit der Aussage verletzen würde;
ich verweise daher auf die nachfolgenden Antworten anderer Forenteilnehmer und entschuldige mich für den Fehler;
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Salut!
Und eine weitere Aufgabe des aktuellen Übungsblatts - schön und gut, wenn du versuchst, eine Lösung zu bekommen, aber einfach ein gesamtes Übungsblatt (hab gerade auch den Rest der Aufgaben 17 bis 20 gefunden) zu posten ist keinesfalls Sinn der Sache (ich weiß, die Aufgaben sind mehr als knackig, aber es wäre sinnvoller, du würdest dich "live" an einige deiner Mitstudenten wenden, die sie lösen können, und sie mit diesen diskutieren - was allerdings weniger als 24 Stunden vor der Abgabe etwas stressig werden dürfte, nicht wahr?!).
Also, zur Aufgabe:
Was vielleicht erfolgsversprechend sein könnte, wäre ein Widerspruchsbeweis à la:
Sei o. B. d. A. v Eigenvektor von B, nicht jedoch Eigenvektor von A; sei A(v) = u; sei u kein Eigenvektor von B;
Nun einmal für AB und einmal für BA durchgehen (Matrizenmultiplikation ist meines Wissens quasi äquivalent der Hintereinanderausführung der den Matrizen zugrunde liegenden Abbildungen), und sehen, was passiert:
AB(v) = A(B(v)) = A(v) = u;
BA(v) = B(u) != u;
=> AB(v) != BA(v)
Ist nur so eine schnelle Idee, aber vielleicht kannst du ja daraus etwas machen!
Au revoir,
Tarek.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Di 17.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo zachi,
ich starte auch mal einen Versuch 
Also die Matrix $A [mm] \in M_n(\IC)$ [/mm] hat ja mindestens einen Eigenwert, da das charakteristische Polynom über [mm] $\IC$ [/mm] genau $n$ Nullstellen hat (aber evtl. mit unterschiedlicher Vielfachheit).
Sei also [mm] $\lambda_a$ [/mm] ein Eigenwert und [mm] $v_a$ [/mm] der zugehörige Eigenvektor von $A$, d.h. [mm] $Av_a=\lambda_a \cdot v_a$. [/mm]
Dann gilt: [mm] $ABv_a=BAv_a=B\lambda_av_a=\lambda_a Bv_a$
[/mm]
Damit ist aber [mm] $Bv_a$ [/mm] auch ein Eigenwert von $A$ zum Eigenwert [mm] $\lambda_a$. [/mm] Damit muss aber [mm] $Bv_a$ [/mm] ein Vielfaches von [mm] $v_a$ [/mm] sein, also [mm] $Bv_a=\lambda_b \cdot v_a$. [/mm] Also ist [mm] $v_a$ [/mm] auch Eigenvektor von $B$.
Gruß Max
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> Zeige: Sind A, B [mm]\in M_{n} (\IC)[/mm] vertauschbar, also AB =
> BA, so haben sie einen gemeinsamen Eigenvektor [mm]\not=[/mm] 0.
Das stimmt schonmal für [mm]A = 0[/mm] und [mm]B = 0[/mm] nicht. Sollen sie vielleicht noch invertierbar sein?
*edit*
Ach Mist, ich dachte es war nach einem Eigenwert gefragt.
Eigenvektoren sind doch per Definition [mm]\not= 0[/mm]?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Di 17.05.2005 | | Autor: | jeu_blanc |
Salut!
Ja, Eigenvektoren werden gemeinhin (zumindest in der mir bekannten Literatur) von vornherein != 0 definiert, allerdings wollte der Aufgabensteller wohl 100%ig sicher gehen...
Au revoir!
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