Eigenvektoren einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden 2-reihigen Matrix.
[mm] \pmat{ -2 & -5 \\ 1 & 4 } [/mm]
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Die Eigenwerte habe ich dazu berechnet:
[mm] (A-\lambda E) = \vmat{-2-\lambda & -5 \\ 1 & 4-\lambda}[/mm]
[mm] = (-2-\lambda)(4-\lambda)+5=\lambda^2-2\lambda-3=0[/mm]
[mm]\lambda_1= -1[/mm] und [mm]\lambda_2= 3[/mm]
Um den Eigenvektor zu bestimmen gehe ich dann jetzt so vor:
[mm](A + 1E)x=0[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & -5 \\ 1 & 5 } { x_1 \choose x_2 }={ 0 \choose 0 } [/mm]
Das System lautet dann wie folgt:
[mm]-x_1 - 5x_2 = 0[/mm]
[mm]x_1 + 5x_2 = 0[/mm]
Und an dieser Stelle komme ich jetzt nicht weiter, weil ich nicht weiß mit welcher der beiden Gleichungen ich weiter arbeiten muß.
Ich habe mal in der Lösung zu der Aufgabe nachgeschaut. Da steht nur, dass das Gleichungssystem auf diese Gleichung reduziert wird:
[mm]x_1 + 5x_2 = 0[/mm]
Kann mir vielleicht jemand erklären, warum ich die untere Gleichung nehmen muß und wieso das so ist ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank schon mal im voraus für eure Hilfe.
MfG
Sebastian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Fr 27.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sebastian!
Es ist doch egal, welche der beiden Gleichungen du nimmst. Sie sind beide äquivalent. Multipliziere doch mal die obere Gleichung mit $-1$. Du kommst dann auf die untere Gleichung...
Liebe Grüße
Stefan
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Ist das nur in diesem Fall so, dass man sich eine der beiden Gleichungen aussuchen kann ?
Wie ist das, wenn die Gleichungen zueinander proportional sind oder gar keine Ähnlichkeit zueinander haben ?
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Hallo Sebastiang,
wenn du den Eigenvektor [mm] $\vec{v}$ [/mm] einer Matrix $A$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] bestimmst, dann tust du das, indem du errechnest, welche Vektoren im Kern der Matrix [mm] $A-\lambda [/mm] E$ liegen.
Dann ist aber ja zwangsläufig die Determinante von [mm] $A-\lambda [/mm] E$ gleich Null, so dass die entstehenden Gleichungen linear abhängig sind. Die Gleichung
[mm] $-x_1-5x_2=0$
[/mm]
wird, ebenso wie die zweite, durch beliebige Vielfache des Vektors [mm] $\pmat{5\\-1}$ [/mm] gelöst.
Wie sehen denn die beiden Gleichungen für den anderen Eigenwert aus, und welche Vektoren lösen diese Gleichung?
Hugo
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