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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Eigenvektoren einer 2x2 Matrix
Eigenvektoren einer 2x2 Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenvektoren einer 2x2 Matrix: Willkür oder Trick?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 So 27.02.2005
Autor: Limschlimm

Hallo.

Hab ein Problem mit den Eigenvektoren dieser Matrix:

A = [mm] \pmat{ 4 & 2 \\ 3 & -1 } [/mm]

Als Eigenwerte hab ich -2 und 5 raus.

Diese setze ich nun ein (hier für Eigenwert "-2"):

[mm] \pmat{ 4-(-2) & 2 \\ 3 & -1-(-2) } [/mm]

also:

[mm] \pmat{ 6 & 2 \\ 3 & 1 }* \vektor{x1 \\ x2}= [/mm] 0

6 [mm] x_{1} [/mm] + 2 [mm] x_{2} [/mm] = 0
3 [mm] x_{1} [/mm] +  [mm] x_{2} [/mm]   = 0


Nun mein Problem:
Wenn ich dieses GL.System löse, sehe ich das ein Parameter frei wählbar ist.
Wenn ich   [mm] x_{1} [/mm] = a als freien Parameter nehme, bekomme ich für den Normierten Eigenvektor:  [mm] \vektor{a \\ -3a} [/mm] also:

[mm] \wurzel{10}* \vektor{1 \\ -3} [/mm] raus!

Nehme ich  [mm] x_{2} [/mm] als Frei wählbaren parameter, bekomm ich für den Eigenvektor:  

[mm] \vektor{\bruch{-1}{3} \\ 1} [/mm]

Ich dachte es wäre egal, welches x ich als freien Parameter wähle?

Weis einer warum es so ist??

mfg



        
Bezug
Eigenvektoren einer 2x2 Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 So 27.02.2005
Autor: Stefan

Hallo!

> Hab ein Problem mit den Eigenvektoren dieser Matrix:
>  
> A = [mm]\pmat{ 4 & 2 \\ 3 & -1 } [/mm]
>  
> Als Eigenwerte hab ich -2 und 5 raus.
>  
> Diese setze ich nun ein (hier für Eigenwert "-2"):
>  
> [mm]\pmat{ 4-(-2) & 2 \\ 3 & -1-(-2) } [/mm]
>  
> also:
>  
> [mm]\pmat{ 6 & 2 \\ 3 & 1 }* \vektor{x1 \\ x2}=[/mm] 0
>  
> 6 [mm]x_{1}[/mm] + 2 [mm]x_{2}[/mm] = 0
>  3 [mm]x_{1}[/mm] +  [mm]x_{2}[/mm]   = 0
>  
>
> Nun mein Problem:
> Wenn ich dieses GL.System löse, sehe ich das ein Parameter
> frei wählbar ist.
>  Wenn ich   [mm]x_{1}[/mm] = a als freien Parameter nehme, bekomme
> ich für den Normierten Eigenvektor:  [mm]\vektor{a \\ -3a}[/mm]
> also:
>  
> [mm]\wurzel{10}* \vektor{1 \\ -3}[/mm] raus!
>  
> Nehme ich  [mm]x_{2}[/mm] als Frei wählbaren parameter, bekomm ich
> für den Eigenvektor:  
>
> [mm]\vektor{\bruch{-1}{3} \\ 1} [/mm]
>  
> Ich dachte es wäre egal, welches x ich als freien Parameter
> wähle?

Ist es ja auch. Wenn du den zweiten Eigenvektor mit [mm] $-3\sqrt{10}$ [/mm] multiplizierst, kommst du auf den ersten. ;-)

Da Eigenvektoren nur bis auf skalare Vielfache eindeutig bestimmbar sind, beantwortet das die Frage. Auch für dich? Wenn nicht, dann frage bitte nach. :-)

Liebe Grüße
Stefan
  

Bezug
                
Bezug
Eigenvektoren einer 2x2 Matrix: Hm..
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 So 27.02.2005
Autor: Limschlimm


> Ist es ja auch. Wenn du den zweiten Eigenvektor mit
> [mm]-3\sqrt{10}[/mm] multiplizierst, kommst du auf den ersten. ;-)

Also sind beide Vektoren richtig, oder?

> Da Eigenvektoren nur bis auf skalare Vielfache eindeutig
> bestimmbar sind, beantwortet das die Frage. Auch für dich?
> Wenn nicht, dann frage bitte nach. :-)

Das verstehe ich nciht. Wäre schön wenn du es mir kurz erklären könntest!


Gruß, LS

>  


Bezug
                        
Bezug
Eigenvektoren einer 2x2 Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 So 27.02.2005
Autor: Stefan

Hallo!

> > Ist es ja auch. Wenn du den zweiten Eigenvektor mit
> > [mm]-3\sqrt{10}[/mm] multiplizierst, kommst du auf den ersten.
> ;-)
>  
> Also sind beide Vektoren richtig, oder?

Ja, beide Vektoren sind mögliche Eigenvektoren.
  

> > Da Eigenvektoren nur bis auf skalare Vielfache eindeutig
>
> > bestimmbar sind, beantwortet das die Frage. Auch für
> dich?
> > Wenn nicht, dann frage bitte nach. :-)
>  
> Das verstehe ich nciht. Wäre schön wenn du es mir kurz
> erklären könntest!

Wenn $v$ ein Eigenvektor einer Matrix $A$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] ist, dann gilt doch nach Definition:

[mm] $Av=\lambda [/mm] v$.

Jetzt sei für $c [mm] \ne [/mm] 0$ der Vektor $cv$ ein Vielfaches von $v$. Ich behaupte, dass dann auch $cv$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] ist.

In der Tat gilt aber:

$A(cv) = [mm] c(AV)=c(\lambda v)=\lambda(cv)$. [/mm]

Jetzt klar?

Viele Grüße
Stefan


Bezug
                                
Bezug
Eigenvektoren einer 2x2 Matrix: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:27 So 27.02.2005
Autor: Limschlimm

Ich glaub, ich habs in etwa kapiert! Ist eig. einleuchtend! :)
Werde (muss) mich heut noch tiefer mit der Materie befassen.

Danke für die Erklärung!

viele Grüße, LS

Bezug
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