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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Hallo,
Habe gleich noch eine ähnliche Frage zu stellen: Und zwar zu folgender Aufgabe:
Sei K ein Körper, [mm] A\in [/mm] M(nxn,K) und sei [mm] w_1,...,w_n \in K^n [/mm] eine Basis aus Eigenvektoren von A, also etwa [mm] w_iA=\lambda_iw_i [/mm] mit [mm] \lambda_i \in [/mm] K für i=1,...,n. Man zeige, dass für [mm] T^{-1}= \vektor{w_1 \\ . \\ . \\ . \\ w_n }mit [/mm] i-ter Zeile [mm] w_i [/mm] für i=1,...,n gilt:
[mm] T^{-1}AT= \pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 & ... \\ 0 & \lambda_2 & 0 & ... \\ . & . & . & . \\ 0 & ... & 0 & \lambda_n }:=B.
[/mm]
Soweit so gut, was ich allerdings nicht verstehe, ist, dass [mm] T^{-1} [/mm] eine 1xn-Matrix ist, oder? Und T dann doch wohl eine nx1-Matrix, woraus folgen müsste, dass besagtes B, wenn es wirklich [mm] T^{-1}AT [/mm] sein sollte doch eine 1x1 Matrix sein müsste, oder liege ich da falsch? Habe ich irgendetwas falsch verstanden?
Gruß, San
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Hallo Sanshine,
> Soweit so gut, was ich allerdings nicht verstehe, ist, dass
> [mm]T^{-1}[/mm] eine 1xn-Matrix ist, oder? Und T dann doch wohl eine
> nx1-Matrix, woraus folgen müsste, dass besagtes B, wenn es
> wirklich [mm]T^{-1}AT[/mm] sein sollte doch eine 1x1 Matrix sein
> müsste, oder liege ich da falsch? Habe ich irgendetwas
> falsch verstanden?
da haste etwas falsch verstanden.
Da die Elemente [mm]w_1,...,w_n \in K^n[/mm] ist T schon eine nxn-Matrix.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Klar, habe ich wirklich übersehen. Aber eine Frage bleibt dann erst einmal noch. denn die [mm] w_i [/mm] sind ja strenggenommen immer noch 1xn-"Matrizen"
Dann müsste [mm] T^{-1} [/mm] doch eher [mm] (w_1,...w_n) [/mm] statt [mm] (w_1,...,w_n)^T [/mm] sein, oder? Ich meine, so wichtig ist es nicht. Ich möchte nur wissen, ob ich es verstanden habe.
Und ansonsten: Ich glaube, das funktioniert doch gar nicht, oder? Am beispiel A= [mm] \pmat{ 4 & 1 \\ -2 & 1 } [/mm] betrachtet: Die Eigenwerte der Matrix sind 3 und 2, die Entsprechenden Eigenräume also [mm] \left\langle (1,-1) \right\rangle [/mm] und [mm] \left\langle (1,-2) \right\rangle [/mm] . Das würde dann doch bedeuten, dass die Gleichung [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 2 }= \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -2 } \pmat{ 4 & 1 \\ -2 & 1 } \pmat{ 3 & -2 \\ 1 & -1 } [/mm] gelten würde, oder? Tut sie aber nicht, falls ich mich nicht verrechnet habe.
Gruß, San
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Hallo Sanshine,
> Klar, habe ich wirklich übersehen. Aber eine Frage bleibt
> dann erst einmal noch. denn die [mm]w_i[/mm] sind ja strenggenommen
> immer noch 1xn-"Matrizen"
> Dann müsste [mm]T^{-1}[/mm] doch eher [mm](w_1,...w_n)[/mm] statt
> [mm](w_1,...,w_n)^T[/mm] sein, oder? Ich meine, so wichtig ist es
> nicht. Ich möchte nur wissen, ob ich es verstanden habe.
Die [mm]w_{i}[/mm] sind als Spaltenvektoren zu sehen, also n x 1 - Matrizen. Die Aufgabe ist schon richtig gestellt.
>
> Und ansonsten: Ich glaube, das funktioniert doch gar nicht,
> oder? Am beispiel A= [mm]\pmat{ 4 & 1 \\ -2 & 1 }[/mm] betrachtet:
> Die Eigenwerte der Matrix sind 3 und 2, die Entsprechenden
> Eigenräume also [mm]\left\langle (1,-1) \right\rangle[/mm] und
> [mm]\left\langle (1,-2) \right\rangle[/mm] . Das würde dann doch
> bedeuten, dass die Gleichung [mm]\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 2 }= \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -2 } \pmat{ 4 & 1 \\ -2 & 1 } \pmat{ 3 & -2 \\ 1 & -1 }[/mm]
> gelten würde, oder? Tut sie aber nicht, falls ich mich
> nicht verrechnet habe.
Da hast Du Dich verrechnet.
Bei mir sind die Matrix T so aus:
[mm]T\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & 1 \\
{ - 1} & { - 2} \\
\end{array} } \right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Halte mich bitte nicht für blöd, aber ich gerade am Verzweifeln. Kann anscheinend noch nicht einmal mehr rechnen. Könntest du mir das vorrechnen???
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Hallo Sanshine,
zunächst ergibt sich der Eigenvektor zum Eigenwert 3 aus der Gleichung [mm]
(A\; - \;3\;I)\;e_1 \; = \;0[/mm]
Konkret:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & 1 \\
{ - 2} & { - 2} \\
\end{array} } \right)\;e_1 \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
\end{array} } \right)[/mm]
Analog für den Eigenvektor zum Eigenwert 2:
Der Eigenvektor zum Eigenwert 2 wird aus der Gleichung [mm](A\; - \;2\;I)\;e_2 \; = \;0[/mm] bestimmt.
Konkret:
[mm]
\begin{gathered}
\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 & 1 \\
{ - 2} & { - 1} \\
\end{array} } \right)\;e_2 \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
\end{array} } \right) \hfill \\
\Rightarrow \;e_2 \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
{ - 2} \\
\end{array} } \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Hieraus ergibt sich dann die Matrix T:
[mm]T\; = \;\left( {e_{1} ,\;e_{2} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & 1 \\
{ - 1} & { - 2} \\
\end{array} } \right)[/mm]
sowie
[mm]T^{ - 1} \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 & 1 \\
{ - 1} & { - 1} \\ \end{array} } \right)[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]\begin{gathered}
T^{ - 1} \;A\;T\; = \;T^{ - 1} \;\left( {A\;T} \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 & 1 \\
{ - 1} & { - 1} \\
\end{array} } \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
4 & 1 \\
{ - 2} & 1 \\
\end{array} } \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & 1 \\
{ - 1} & { - 2} \\
\end{array} } \right) \hfill \\
= \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 & 1 \\
{ - 1} & { - 1} \\
\end{array} } \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 & 2 \\
{ - 3} & { - 4} \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{array} } \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Vielen, vielen, vielen Dank. Ich dachte, ich versage schon bei der Matrizenmultiplikation, aber mein Problem war einfach, dass mein [mm] T^{-1} [/mm] falsch ausgerechnet war und ich mich dumm und dämlich überprüft habe.
Aber jetzt ist alles in Ordnung, danke.
Schönen Abend noch, San
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