Eigenvektoren d. Einheitsmatri < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Andy7b9 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrizen
a) [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, möglicherweise sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht, da ich mich erst seit 2 Tagen durch lesen mit Eigenwerten etc beschäftige.
Mein Problem ist, aus den zu dieser Matrix gehörenden Eigenwerten (1;1) die als Lösung angegebenen Eigenvektoren [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] zu bestimmen.
Mein Denkansatz: Da es sich ja um die Einheitsmatrix handelt, erhalte ich zur Errechnung der Eigenvektoren letztendlich die Nullmatrix, wenn ich [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] - 1 * [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] rechne. Wenn ich die dann gleich null setze sollte es doch so sein, das ich für x1 und x2 beliebige Werte einsetzen kann. Auf 1 normiert erhielte ich dann als Eigenvektor [mm] \vektor{1 \\ 1}.
[/mm]
Irgendwas fehlt mir leider an Stoff, um nachvollziehen zu können, warum das nicht richtig ist und wie man auf die beiden ertsgenannten Eigenvektoren kommt. ch würde mich riesig freuen, wenn mir das jemand erklären könnte.
|
|
| |
|
Hiho,
natürlich ist [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] ebenfalls EIN Eigenvektor, allerdings reicht das nicht aus.
Die Menge der Eigenvektoren einer Matrix A zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ergeben sich aus:
[mm]ker(A -\lambda*E)[/mm]
in deinem Fall also: [mm] ker(\pmat{1&0\\0&1} [/mm] - [mm] \pmat{1&0\\0&1}) [/mm] = [mm] ker(\pmat{0&0\\0&0}).
[/mm]
Ja, und welche Vektoren liegen denn im Kern von [mm] \pmat{0&0\\0&0}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Andy7b9 |
| Aufgabe | | Eigenwerte und Eigenvektoren von [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 } [/mm] |
Ok, Danke schonmal für den Tip mit dem Kern, nun habe ich ein anderes Problem mit obiger Aufgabenstellung: Nämlich das sich dort ebenfalls zum berechnen der Eigenvektoren aus den Eigenwerte 1;1 ein Nullvektor ergibt.
Nun hätte ich vermutet, dass dort ebenfalls die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] zum aufspannen des Unterraums dienen, doch in diesem Fall bekomme ich von diversen Computeralgorithmen und dem Lösungsblatt lediglich [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] als einzige gültige Lösung präsentiert. Selbst nach noch mehrmaligem durchwälzen aller Literatur die mir zur Verfügung steht, kann ich nicht erkennen, warum in diesem Fall nur ein Eigenvektor richtig ist.
Wenn mir das bitte noch jemand erklären könnte wäre ich überglücklich.
|
|
|
| |
|
> Eigenwerte und Eigenvektoren von [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, auch diese Matrix hat den Eigenwert 1, charakteristisches Polynom [mm] X_A(x)=(x-1)^2.
[/mm]
Um den zum Eigenwert 1 gehorenden Eigenraum [mm] Eig_1 [/mm] zu berechnen, mußt Du den Lösungsraum von
[mm] 0=A-1*E_2=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] ermitteln,
was wieder auf die Bestimmung des Kerns von [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] herausläuft.
Das dieser nur eindimensional ist, nimmt nach einem flüchtigen Blick auf die Matrix wenig Wunder, sieht man doch sofort, daß ihr Rang =1 ist.
Allgemein erhältst Du den Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] einer Matrix B wie folgt:
Der Eigenraum ist die Menge aller x, welche das Gleichungssystem
[mm] Bx=\lambda [/mm] x
lösen.
Dieses GS ist äquivalent zu [mm] 0=Bx-\lambda x=(B-\lambda [/mm] E)x,
d.h. es ist der Kern von [mm] B-\lambda [/mm] E zu bestimmen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
