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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mo 23.01.2006 | | Autor: | hexe38 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich versuche gerade vergeblich herauszufinden, wie ich die eigenvektoren der folgenden Matrix finde
[mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 1 & 2 }
[/mm]
ich weiß wie ich auf die eigenwerte bestimme und ich weiß auch, das ich um den eigenvector zu finden das gleichungssystem (A-rI)v lösen muss. Allerdings komm ich nicht weiter...
Mit dem eigenwert 2 komme ich auf folgende Gleichung
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 } \vektor{v1\\ v2}= \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
aber wie löse ich die nun? Es würde mir sehr helfen, wenn mir jemand an diesem Beispiel Schritt für Schritt zeigen könnte wie ich auf den Eigenvektor komme. Denn ich komme nur noch so weit, das ich folgendes Gleichungssystem bilden kann
[mm] 1v_{1} [/mm] + [mm] 0v_{2} [/mm] = 0
[mm] 1v_{1} [/mm] + [mm] 0v_{2} [/mm] = 0
... aber wie gesagt mir fehlt der Weg um jetzt den EIgenvektor bestimmen zu können.
Danke schon mal
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Hallo hexe38,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich versuche gerade vergeblich herauszufinden, wie ich die
> eigenvektoren der folgenden Matrix finde
>
> [mm]\pmat{ 3 & 2 \\ 1 & 2 }[/mm]
>
>
> ich weiß wie ich auf die eigenwerte bestimme und ich weiß
> auch, das ich um den eigenvector zu finden das
> gleichungssystem (A-rI)v lösen muss. Allerdings komm ich
> nicht weiter...
> Mit dem eigenwert 2 komme ich auf folgende Gleichung
Nach meiner Rechnung kann das nicht sein.
[mm]
\begin{gathered}
\det \left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\; = \;\det \left( {\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 & 2 \\
1 & 2 \\
\end{array} } \right)\; - \;\lambda \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array} } \right)} \right) \hfill \\
= \;\det \left( {\left( {\begin{array}{*{20}c}
{3\; - \;\lambda } & 2 \\
1 & {2\; - \;\lambda } \\
\end{array} } \right)} \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Das liefert Eigenwerte 1 und 4.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 23.01.2006 | | Autor: | hexe38 |
Danke für die schnelle Antwort!
Heißt das nun, dass immer wenn ich ein (v) mal 0 habe, ich einen freien Parameter dafür wählen kann? Ist der im Idealfall immer 1?
ich versuche es jetzt mal mit dem Eigenwert 3 es ergeben sich also die Gleichungen
0 [mm] v_{1}+ [/mm] 0 [mm] v_{2}= [/mm] 0
1 [mm] v_{1}+ [/mm] 1 [mm] v_{2}= [/mm] 0
somit ist der Eigenvektor v= [mm] \vektor{1 \\ 1}.
[/mm]
okay ich denke das habe ich verstanden.
Aber was wenn sich die Gleichungen nicht reduzieren und ich somit immer noch 2 habe?
e.g.
1 [mm] v_{1}+ [/mm] (-1) [mm] v_{2}= [/mm] 0
2 [mm] v_{1}+ [/mm] 2 [mm] v_{2}= [/mm] 0
dieses Gleichungssystem stammt von A [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 4 } [/mm] mit eingesetzen eigenwert 2 (weiterer Eigenwert= 3).
würde mich sehr freuen wenn ich dieses auch bald verstehen würde. Danke für die Hilfe.
e.g.
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Hallo hexe38,
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Heißt das nun, dass immer wenn ich ein (v) mal 0 habe, ich
> einen freien Parameter dafür wählen kann? Ist der im
> Idealfall immer 1?
> ich versuche es jetzt mal mit dem Eigenwert 3 es ergeben
> sich also die Gleichungen
> 0 [mm]v_{1}+[/mm] 0 [mm]v_{2}=[/mm] 0
> 1 [mm]v_{1}+[/mm] 1 [mm]v_{2}=[/mm] 0
>
> somit ist der Eigenvektor v= [mm]\vektor{1 \\ 1}.[/mm]
> okay ich
> denke das habe ich verstanden.
>
> Aber was wenn sich die Gleichungen nicht reduzieren und ich
> somit immer noch 2 habe?
> e.g.
> 1 [mm]v_{1}+[/mm] (-1) [mm]v_{2}=[/mm] 0
> 2 [mm]v_{1}+[/mm] 2 [mm]v_{2}=[/mm] 0
>
> dieses Gleichungssystem stammt von A [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 4 }[/mm]
> mit eingesetzen eigenwert 2.
>
> würde mich sehr freuen wenn ich dieses auch bald verstehen
> würde. Danke für die Hilfe.
> e.g.
>
ich habe meine Antwort nochmal überdacht. Dabei bin ich zu dem Schluss gekommen, dass die angegebene Matrix
[mm]
{\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 & 2 \\
1 & 2 \\
\end{array} } \right)}[/mm]
einen Eigenwert 2 nicht haben kann.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mo 23.01.2006 | | Autor: | hexe38 |
Das ist richtig, ich habe beim Eingeben der Formel einen Tippfehler mit eingebaut. Sorry! War keine Absicht!
die richtige Matrix, zu der nun hoffentlich auch die Eigenwerte passen lautet:
[mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 1 & 2 }. [/mm]
Nochmal Entschuldigung!
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Hallo hexe38,
> Das ist richtig, ich habe beim Eingeben der Formel einen
> Tippfehler mit eingebaut. Sorry! War keine Absicht!
> die richtige Matrix, zu der nun hoffentlich auch die
> Eigenwerte passen lautet:
> [mm]\pmat{ 3 & 0 \\ 1 & 2 }.[/mm]
Dann stimmt natürlich das was ich zuerst geschrieben habe.
> Nochmal Entschuldigung!
Ok.
Gruß
MathePower
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Hallo hexe38,
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Heißt das nun, dass immer wenn ich ein (v) mal 0 habe, ich
> einen freien Parameter dafür wählen kann? Ist der im
> Idealfall immer 1?
Der freie Parameter kann alle Zahlenwerte annehmen. Darum auch die Variable t.
> ich versuche es jetzt mal mit dem Eigenwert 3 es ergeben
> sich also die Gleichungen
> 0 [mm]v_{1}+[/mm] 0 [mm]v_{2}=[/mm] 0
> 1 [mm]v_{1}+[/mm] 1 [mm]v_{2}=[/mm] 0
Letzte Gleichung: "-" statt "+".
>
> somit ist der Eigenvektor v= [mm]\vektor{1 \\ 1}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> okay ich
> denke das habe ich verstanden.
>
> Aber was wenn sich die Gleichungen nicht reduzieren und ich
> somit immer noch 2 habe?
> e.g.
> 1 [mm]v_{1}+[/mm] (-1) [mm]v_{2}=[/mm] 0
> 2 [mm]v_{1}+[/mm] 2 [mm]v_{2}=[/mm] 0
Das kann nie der Fall sein, da die Determinante von 0 verschieden ist.
>
> dieses Gleichungssystem stammt von A [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 4 }[/mm]
> mit eingesetzen eigenwert 2 (weiterer Eigenwert= 3).
Ich erhalte da für den Eigenwert 2:
[mm]-1 v_{1}+ (-1) v_{2}= 0[/mm]
[mm]2 v_{1}+ 2 v_{2}= 0[/mm]
bzw. für den Eigenwert 3:
[mm]-2 v_{1}+ (-1) v_{2}= 0[/mm]
[mm]2 v_{1}+ 1 v_{2}= 0[/mm]
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> würde mich sehr freuen wenn ich dieses auch bald verstehen
> würde. Danke für die Hilfe.
> e.g.
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Mo 23.01.2006 | | Autor: | hexe38 |
Danke für die Hilfe!!!!
LG Hexe
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