Eigenvektor einer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 So 24.01.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A:
A = [mm] \pmat{ -2 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & 0 \\ -3 & -1 & -2} [/mm] |
Zunächst habe ich die Eigenwerte erstellt:
Nach 2.Zeile entwickelt:
= -3- [mm] \lambda [/mm] ( -2 - [mm] \lambda) [/mm] (-2 - [mm] \lambda) [/mm] + 9)
Nach Mitternachtsformel dann die Werte:
[mm] \lambda_1 [/mm] = -3
[mm] \lambda_2 [/mm] = 2 + 3i
[mm] \lambda_3 [/mm] = 2 - 3i
Eigenvektoren:
Zunächst mit [mm] Lambda_2
[/mm]
A = [mm] \pmat{ -4 + 3i & 2 & 3 \\ 0 & -5+3i & 0 \\ -3 & -1 & -4 +3i}
[/mm]
Nun habe ich das Problem, dass ich nicht weiß wie ich von hier weitermache..
Ich muss ja eine Nullzeile erstellen, aber wie erhalte ich z.B aus Zeile 1 und 3 an Stelle 31 und 33 Nullstellen?
Vielen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 So 24.01.2010 | | Autor: | zocca21 |
Erstmal vielen Dank:
Bin nun an diesem Punkt:
A = [mm] \pmat{ -3i & 2 & 3 \\ 0 & -1-3i & 0 \\ 0 & 2i-1 & 0 }
[/mm]
Wie kann ich aus Zeile 2 und 3...in eine der beiden eine Nullzeile erstellen?
Gibt es da irgendeinen Trick bei komplexen Zahlen oder muss man das immer erkennen..Ich finde es vorallem Problematisch wenn ich einen Ausdruck Relle Zahl + Komplexe Zahl habe..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 24.01.2010 | | Autor: | zocca21 |
Sorry, sollte eine Frage werden..hab nich gefunden wie ich dies verbessern konnte..
Erstmal vielen Dank:
Bin nun an diesem Punkt:
A = [mm] \pmat{ -3i & 2 & 3 \\ 0 & -1-3i & 0 \\ 0 & 2i-1 & 0 }
[/mm]
Wie kann ich aus Zeile 2 und 3...in eine der beiden eine Nullzeile erstellen?
Gibt es da irgendeinen Trick bei komplexen Zahlen oder muss man das immer erkennen..Ich finde es vorallem Problematisch wenn ich einen Ausdruck Relle Zahl + Komplexe Zahl habe..
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Sorry, sollte eine Frage werden..hab nich gefunden wie ich
> dies verbessern konnte..
>
> Erstmal vielen Dank:
>
> Bin nun an diesem Punkt:
>
> A = [mm]\pmat{ -3i & 2 & 3 \\ 0 & -1-3i & 0 \\ 0 & 2i-1 & 0 }[/mm]
>
> Wie kann ich aus Zeile 2 und 3...in eine der beiden eine
> Nullzeile erstellen?
Nun, ganz primitiv: Die zweite Komponente in der zweiten Zeile ist nicht 0, die zweite Komponenten in der dritten Zeile ist nicht Null; also wird es schon irgendeine komplexe Zahl geben, mit der du die zweite Zeile multiplizieren und sie dann auf die dritte addieren kannst, sodass dort eine Nullzeile entsteht. Das ist ein Fakt.
So hast du dir das wahrscheinlich nicht vorgestellt. Aber du kannst die komplexe Zahl ja auch konkret angeben:
[mm] \frac{2i-1}{1+3i}
[/mm]
Das Problem ist nur, dass wenn du längere Umformungen da stehen hast, nicht immere größere Brüche entstehen sollen.
> Gibt es da irgendeinen Trick bei komplexen Zahlen oder
> muss man das immer erkennen..Ich finde es vorallem
> Problematisch wenn ich einen Ausdruck Relle Zahl + Komplexe
> Zahl habe..
Du meinst eine Zahlen mit imaginären und reellen Anteil, also komplexe Zahlen. (Der Ausdruck "Reelle Zahl + Komplexe Zahl" ist nicht besonders sinnvoll, mach' dir das klar)
So, nun zu deinem Problem:
Ich mach' mal ein Beispiel:
[mm] \pmat{1+i & 2-3i\\ 2-i & 5+4i}
[/mm]
Das willst du z.B. in Zeilenstufenform bringen (und dann auf Diagonalgestalt). Dazu solltest du erst die erste Zeile geeignet so mit elementaren Zeilenumformungen verändern, dass in der ersten Komponente eine "1" steht.
Schritt 1: erste Komponente reell machen! Das geht so: Steht dort (a+bi), multipliziere die Zeile mit (a-bi), dann entsteht [mm] (a^{2}+b^{2}) [/mm] in der ersten Komponente.
Schritt 2: erste Komponente nun zu 1 machen.
Am obigen Beispiel: erste Zeile mit (1-i) multiplizieren:
[mm] \to \pmat{(1+i)*(1-i) & (2-3i)*(1-i)\\ 2-i & 5+4i}
[/mm]
= [mm] \pmat{2 & -1-5i\\ 2-i & 5+4i}
[/mm]
[mm] \to \pmat{1 & -\frac{1}{2}-\frac{5}{2}*i\\ 2-i & 5+4i}
[/mm]
Nun ganz "normal" erste Komponente der zweiten Zeile eliminieren:
[mm] \to \pmat{1 & -\frac{1}{2}-\frac{5}{2}*i\\ 0 & (5+4i) - (2-i)*(-\frac{1}{2}-\frac{5}{2}*i)}
[/mm]
Nun noch ausrechnen.
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
