Eigenvektor einer 3x3 Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Di 14.10.2014 | | Autor: | babflab |
| Aufgabe | | A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 6 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 } [/mm] |
Hallo,
da es bei der letzten Aufgabe so toll geklappt, hier leider die nächste wo ich falsche Eigenvektoren rausbekomme:
Determinante: -26
charak.Polynom: [mm] -\lambda^{3}+\lambda^{2}-12\lambda [/mm] = 0
Eigenwerte: [mm] \lambda_{1} [/mm] = -4 ; [mm] \lambda_{2} [/mm] = 3; [mm] \lambda_{3}= [/mm] 0
für [mm] \lambda_{1} [/mm] = -4 einsetzen in:
A = [mm] \pmat{ 1-\lambda & 2 & 1 \\ 6 & -1-\lambda & 0 \\ -1 & -2 & -1-\lambda }
[/mm]
Kreuzprodukt für [mm] \lambda_{1} [/mm] = -4
[mm] \vektor{5 \\ 2 \\ 1 } [/mm] x [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 0 } [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 6 \\ 3 }
[/mm]
Die beiden anderen [mm] \lambda_{2} [/mm] und für [mm] \lambda_{3} [/mm] habe ich analog gemacht.
In meiner Lösung steht (-1; 2; 1), mein Vektor ist das dreifache der Lösung.
Ich weiss, dass jedes k-fache meines Vektors ein Eigenvektor wiederum ist, nur wie kommt es das ich das vielfache der Lösung raus bekomme? Oder ist das einfach nur eine "verschönerte" Lösung und wäre meine auch richtig?
Vielen Dank ihr lieben!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Di 14.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> A = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 6 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 }[/mm]
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> Hallo,
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> da es bei der letzten Aufgabe so toll geklappt, hier leider
> die nächste wo ich falsche Eigenvektoren rausbekomme:
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> Determinante: -26
> charak.Polynom: [mm]-\lambda^{3}+\lambda^{2}-12\lambda[/mm] = 0
> Eigenwerte: [mm]\lambda_{1}[/mm] = -4 ; [mm]\lambda_{2}[/mm] = 3;
> [mm]\lambda_{3}=[/mm] 0
>
> für [mm]\lambda_{1}[/mm] = -4 einsetzen in:
> A = [mm]\pmat{ 1-\lambda & 2 & 1 \\ 6 & -1-\lambda & 0 \\ -1 & -2 & -1-\lambda }[/mm]
>
> Kreuzprodukt für [mm]\lambda_{1}[/mm] = -4
> [mm]\vektor{5 \\ 2 \\ 1 }[/mm] x [mm]\vektor{6 \\ 3 \\ 0 }[/mm] =
> [mm]\vektor{-3 \\ 6 \\ 3 }[/mm]
>
> Die beiden anderen [mm]\lambda_{2}[/mm] und für [mm]\lambda_{3}[/mm] habe
> ich analog gemacht.
> In meiner Lösung steht (-1; 2; 1), mein Vektor ist das
> dreifache der Lösung.
> Ich weiss, dass jedes k-fache meines Vektors ein
> Eigenvektor wiederum ist, nur wie kommt es das ich das
> vielfache der Lösung raus bekomme? Oder ist das einfach
> nur eine "verschönerte" Lösung und wäre meine auch
> richtig?
Der Vektor [mm]\vektor{-3 \\ 6 \\ 3 }[/mm] ist ein Eigenvektor von A zum Eigenwert -4. Also alles bestens.
Die Menge der Eigenvektoren von A zum Eigenwert -4 ist gegeben durch
[mm] \{s*\vektor{-1 \\ 2 \\ 1 }:s \in \IR \setminus \{0\}\}
[/mm]
oder, falls der Körper [mm] \IC [/mm] zugrunde gelegt wurde
[mm] \{s*\vektor{-1 \\ 2 \\ 1 }:s \in \IC \setminus \{0\}\}
[/mm]
FRED
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> Vielen Dank ihr lieben!!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Di 14.10.2014 | | Autor: | babflab |
Danke ! Dann passt alles :)
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