Eigenvektor/LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wir betrachten die durch die Matrize
[mm] B=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & -1 \\ 4 & 1 & -1 } \in \IC^{3,3}
[/mm]
gegebenen linearen Abbildungen.
Man bestimme die Eigenwerte der Abbildung, sowie die zugehörigen Eigenvektoren. |
Guten Abend!
Die Vorgehensweise ist mir bekannt. Ich habe auch alle Eigenwerte gefunden:
[mm] x_1=1 [/mm] ; [mm] x_2= \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm]
; [mm] x_3= \bruch{1-\wurzel{5}}{2}
[/mm]
(Hab die Werte mit einem Programm überprüft)
Nun möchte ich den Eigenvektor zu [mm] x_2 [/mm] bestimmen und komme auf folgendes LGS:
I [mm] \bruch {1-\wurzel{5}}{2}a [/mm] =0
II 2a + [mm] \bruch {3-\wurzel{5}}{2}b [/mm] - c =0
III 4a + b - [mm] \bruch {3+\wurzel{5}}{2}c [/mm] =0
...und scheitere kläglich. Ich bekomme irgendwie nur den Nullvektor raus.
Könnte mir jemand erklären, wie ich vorgehen soll?
Gruß Rainer
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Di 18.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Rainer!
> Nun möchte ich den Eigenvektor zu [mm]x_2[/mm] bestimmen und komme
> auf folgendes LGS:
>
> I [mm]\bruch {1-\wurzel{5}}{2}a[/mm] =0
> II 2a + [mm]\bruch {3-\wurzel{5}}{2}b[/mm] - c =0
> III 4a + b - [mm]\bruch {3+\wurzel{5}}{2}c[/mm] =0
>
>
> ...und scheitere kläglich. Ich bekomme irgendwie nur den
> Nullvektor raus.
Aus (I) folgt ja sofort a=0. Wenn du das in die beiden anderen einsetzt, bekommst du zwei, bis auf einen Faktor identische Gleichungen für b und c. Du wählst willkürlich b=1 und bestimmst
[mm] c= \bruch{3-\sqrt5}{2} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Danke für die schnelle Antwort.
Ich hab nur nicht verstanden, warum ich z.b. b wählen darf.
Es liegen doch drei Gleichungen mit drei Unbekannten vor..
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Di 18.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für die schnelle Antwort.
>
> Ich hab nur nicht verstanden, warum ich z.b. b wählen
> darf.
> Es liegen doch drei Gleichungen mit drei Unbekannten
> vor..
Die nicht unabhängig voneinander sind. Die dritte Gleichung ist eine Linearkombination der ersten beiden. Probier's einfach aus: Wenn du a=0 setzt, bleiben zwei Gleichungen übrig:
[mm] \bruch {3-\wurzel{5}}{2}b - c =0[/mm]
[mm] b - \bruch {3+\wurzel{5}}{2}c =0 [/mm]
Löse die erste dieser Gleichungen nach c auf und setze in die zweite ein.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
ja...das macht Sinn.
Vielen Dank :)
|
|
|
| |
|
Ja...sorry...ich bins nochmal...
Das mit b=1 wählen klappt bei mir doch nicht so...
Wenn ich das nach II Auflöse bekomme ich für den Einheisvektor
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{3-\sqrt5}{2}} [/mm]
Nach III:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{2}{3+\sqrt5}}
[/mm]
Und keiner von diesen Vektoren ergibt mit meiner Matrix:
[mm] x_2:= [/mm] Eigenwert2
[mm]\vec x[/mm] = zugehöriger Eigenvektor.
[mm] (B-x_2*I_3)*[/mm] [mm]\vec x[/mm] = [mm] \vec0
[/mm]
P.S. für [mm] (B-x_2*I_3) [/mm] hab ich :
[mm] \pmat{ \bruch{1-\sqrt5}{2} & 0 & 0 \\
2 & \bruch{3-\sqrt5}{2} & -1 \\
4 & 1 & \bruch{-3-\sqrt5}{2}} [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Di 18.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ja...sorry...ich bins nochmal...
>
> Das mit b=1 wählen klappt bei mir doch nicht so...
>
> Wenn ich das nach II Auflöse bekomme ich für den
> Einheisvektor
>
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{3-\sqrt5}{2}}[/mm]
>
> Nach III:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ \bruch{2}{3+\sqrt5}}[/mm]
Das ist der gleiche Vektor, denn [mm](3+\sqrt5)(3-\sqrt5) = 4[/mm].
> Und keiner von diesen Vektoren ergibt mit meiner Matrix:
>
> [mm]x_2:=[/mm] Eigenwert2
> [mm]\vec x[/mm] = zugehöriger Eigenvektor.
>
> [mm](B-x_2*I_3)*[/mm] [mm]\vec x[/mm] = [mm]\vec0[/mm]
Dann hast du dich verrechnet.
> [mm]\pmat{ \bruch{1-\sqrt5}{2} & 0 & 0 \\
2 & \bruch{3-\sqrt5}{2} & -1 \\
4 & 1 & \bruch{-3-\sqrt5}{2}}[/mm]
Zum Beispiel: dritte Zeile der Matrix mal dem Vektor aus II:
[mm] 4*0 + 1* 1 + \bruch{-3-\sqrt5}{2}} * \bruch{3-\sqrt5}{2} = 0 +1 + \bruch {-4}{4} = 0[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Oh man...
Darf ich das auf die Uhrzeit schieben?
Vielen Dank für deine Geduld!
|
|
|
|
