Eigenvektor, Eigenwert < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Di 25.01.2005 | | Autor: | beauty |
Hey!
seien [mm] u_1, u_2 [/mm] Eigenvektoren zu A mit [mm] f_1 [/mm] bzw. [mm] f_2 [/mm] und sei [mm] f_1 [/mm] ungleich [mm] f_2, [/mm] so ist [mm] u_1+u_2 [/mm] von Null verschieden und kein Eigenvektor.
Kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen?
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Grüße!
Das ist gar nicht schwer, wenn man folgendes benutzt (was ihr dürft):
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.
Da eure Eigenwerte verschieden sind, sind es die Vektoren auch - daraus folgt sofort die erste Behauptung. Die zweite erhält man ebenso durch Widerspruch: nimm an, es gibt ein [mm] $\mu \in [/mm] K$ mit [mm] $f(u_1 [/mm] + [mm] u_2) [/mm] = [mm] \mu(u_1 [/mm] + [mm] u_2)$. [/mm] Das läßt sich mit Hilfe der Linearität der Abbildung und dem, was man über die Vektoren und ihre Eigenwerte weiß ganz leicht zu einem Widerspruch führen. :)
Viel Erfolg!
Lars
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