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Eigenvektor: Gauß-Alg
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 So 30.05.2010
Autor: sweety321

Aufgabe
Berechnen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen.
A =
3   3    0
0   0    1
0  −2   3
Bestimmen Sie jeweils, ob die Matrix über R diagonalisierbar ist und geben
Sie gegebenenfalls eine Basis des [mm] R^3 [/mm] aus Eigenvektoren an.

Hallo,

ich habe als Eigenwerte 1;2;3 errechnet.

Beim Einsetzen von 3 erhalte ich durch Umformen das LGS:
( 0 1 0 ) ( x )
( 0 0 1 ) ( y ) = 0
( 0 0 0 ) ( z )

Ich habe gerade einen Blackout, wie ich daraus jetzt x,y,z bzw. einen Eigenvektor bestimmen kann.... Bitte um Hilfe! Danke!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Eigenvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 So 30.05.2010
Autor: Arcesius

Hallo

> Berechnen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der
> folgenden Matrizen.
>  A =
>  3   3    0
>  0   0    1
>  0  −2   3
>  Bestimmen Sie jeweils, ob die Matrix über R
> diagonalisierbar ist und geben
>  Sie gegebenenfalls eine Basis des [mm]R^3[/mm] aus Eigenvektoren
> an.
>  Hallo,
>
> ich habe als Eigenwerte 1;2;3 errechnet.

[ok] das ist soweit richtig

>  
> Beim Einsetzen von 3 erhalte ich durch Umformen das LGS:
>  ( 0 1 0 ) ( x )
>  ( 0 0 1 ) ( y ) = 0
>  ( 0 0 0 ) ( z )

>

Eine Matrix-Vektor Multiplikation spuckt keine Zahl als Ergebnis... ;)

Die Matrix hast du richtig auf Zeilenstufenform gebracht. Du hast eine Nullzeile erhalten, also setze [mm] x_{1} [/mm] = t.

Aus den restlichen Zeilen ergibt sich [mm] x_{3} [/mm] = 0 und [mm] x_{2} [/mm] = 0. Somit hast du einen Eigenvektor v = [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] gefunden.
  

> Ich habe gerade einen Blackout, wie ich daraus jetzt x,y,z
> bzw. einen Eigenvektor bestimmen kann.... Bitte um Hilfe!
> Danke!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Grüsse, Amaro

Bezug
                
Bezug
Eigenvektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 So 30.05.2010
Autor: sweety321

Aufgabe
Berechnen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen.
A =
3   3    0
0   0    1
0  −2   3
Bestimmen Sie jeweils, ob die Matrix über R diagonalisierbar ist und geben
Sie gegebenenfalls eine Basis des $ [mm] R^3 [/mm] $ aus Eigenvektoren an.  

Hm, ich glaube ich habs gerafft.

Ist es dann richtig, wenn ich für den Eigenwert 2 raushabe:
z=t; y=t/2; x=(-3/2)t
Ein Eigenvektor: (-9 / 3 / 6)

Und für 1:
z=t; y=t; x=(-3/2)t
Ein Eigenvektor: (-9 / 6 / 6)

Diagonalisierbar ist die Matrix, wenn diese drei Vektoren eine Basis sind, also lin. unabh. sind?

Bezug
                        
Bezug
Eigenvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 So 30.05.2010
Autor: Arcesius

Hey

> Berechnen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der
> folgenden Matrizen.
>  A =
>  3   3    0
>  0   0    1
>  0  −2   3
>  Bestimmen Sie jeweils, ob die Matrix über R
> diagonalisierbar ist und geben
>  Sie gegebenenfalls eine Basis des [mm]R^3[/mm] aus Eigenvektoren
> an.
> Hm, ich glaube ich habs gerafft.
>  
> Ist es dann richtig, wenn ich für den Eigenwert 2
> raushabe:
>  z=t; y=t/2; x=(-3/2)t
>  Ein Eigenvektor: (-9 / 3 / 6)
>  
> Und für 1:
>  z=t; y=t; x=(-3/2)t
>  Ein Eigenvektor: (-9 / 6 / 6)

Im Prinzip schon.. aber du kannst alles noch durch 3 teilen.. :)

>  
> Diagonalisierbar ist die Matrix, wenn diese drei Vektoren
> eine Basis sind, also lin. unabh. sind?

Und, sind sie es? ;)

Grüsse, Amaro

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