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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Sa 20.03.2010 | | Autor: | asabasa |
Hallo, ich brauche mal eure Hilfe und zwar verstehe ich nicht genau, wofür ich einen Eigenvektor brauche und wie ich ihn berechne.
Was ein Eigenwert ist, ist mir klar.
Wie ich den Eigenvektor durch das charakteristische Polynom berechne ist mir auch klar.
Wir sollen aber mit gegeben Eigenwerten die Eigenvektoren berechnen können, wie mache ich das?
Könnt ihr mir vielleicht an einem Beispiel (3x3) zeigen, wie ich das mache und wofür ein Eigenvektor überhaupt gut ist?
Wäre sehr nett.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Du weißt sicher schon, was ein Eigenvektor anschaulich ist: Ein Vektor, der nach Multiplikation mit der Matrix höchstens seine Länge, nicht aber seine Richtung ändert. (wobei 180° erlaubt ist, er hat dann eine "negative" Länge durch einen negativen Eigenwert bekommen)
Und aus dieser Definition kann man ihn auch berechnen. Folgendes solltest du bereits kennen:
[mm] \mathbf{M}*\vec{x}=\lambda\vec{x}
[/mm]
[mm] (\mathbf{M}-\lambda*\mathbf{E})\vec{x}=\vec{0}
[/mm]
Den Eigenwert holst du alleine aus dem Term in der Klammer. Setzt du den Eigenwert aber nun ein, hast du ein Lin. Gleichungssystem, und kannst [mm] \vec{x} [/mm] bestimmen.
Wozu man das nun braucht...
Ein rotierender Körper besitzt einen von seinem Trägheitsmoment abhängigen Drehimpuls: [mm] L=J*\omega [/mm] .
Vektoriell: [mm] \vec{L}=\mathbf{J}*\vec{\omega}
[/mm]
Hierbei ist [mm] \mathbf{J} [/mm] der Trägheitstensor, das ist eine 3x3-Matrix, die sozusagen die Masseverteilung beschreibt.
der VEKTOR [mm] \vec{\omega} [/mm] beschreibt neben der Rotationsgeschwindigkeit auch die Drehachse.
Haben [mm] \vec{\omega} [/mm] und [mm] \vec{L} [/mm] nicht exakt die gleiche Richtung, fängt der Körper, sofern er sich frei bewegen kann, an zu "torkeln". Der Körper dreht sich nur dann stabil um eine Achse, wenn [mm] \vec{\omega} [/mm] und [mm] \vec{L} [/mm] in die gleiche Richtung zeigen, also wenn [mm] \omega [/mm] ein Eigenvektor von [mm] \mathbf{J} [/mm] ist!
Anderes Beispiel:
Du hast zwei Pendel, die mit einer Feder verbunden sind, und willst deren Bewegung berechnen.
Dummerweise wirkt dann auf ein Pendel nicht nur die eigene Gravitationskraft, die dieses Pendel zurück zur Ruhelage zieht, sondern auch noch eine Kraft vom anderen Pendel, welche aber von der Auslenkung BEIDER Pendel abhängt.
Die physikalische Formel sieht nun so aus:
[mm] $\ddot{\theta}_1=-A \cdot \theta_1+B (\theta_2-\theta_1)$
[/mm]
[mm] $\ddot{\theta}_2=-A \cdot \theta_2- [/mm] B [mm] (\theta_2-\theta_1)$
[/mm]
Und du sollst zwei Funktionen (!) [mm] \theta_1 [/mm] und [mm] \theta_2 [/mm] finden, die dese Gleichung lösen. Das ist so erstmal nur schwer möglich.
Man kann das ganze aber umformen, daß es wie ein Gleichungssystem aussieht.
[mm] $\ddot{\theta}_1=(-A-B) \theta_1+B \theta_2$
[/mm]
[mm] $\ddot{\theta}_2=B\theta_1 [/mm] +(-A-B) [mm] \theta_2 [/mm] $
oder gleich
[mm] \ddot{\vec{\theta}}=\mathbf{M}*\vec{\theta}
[/mm]
Der Trick besteht darin, nun die Eigenvektoren zu bestimmen, und das ganze in einem neuen Koordinatensystem zu betrachten, in dem die Koordinatenachsen die gleiche Richtung wie die Eigenvektoren haben. Denn dann wird aus der Gleichung sowas wie
[mm] \ddot{\phi}_1=C*\phi_1
[/mm]
[mm] \ddot{\phi}_2=D*\phi_2
[/mm]
was trivial zu lösen ist.
Aber gut, das dürfte für dich ein wenig zu viel sein 
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