Eigenvektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
kann mir einer die Bedeutung des Eigenvektors erklären? Ich weis nur, dass der Eigenvektor ein vom Nullvektor verschiedener Vektor ist und um das [mm] \lambda-fache [/mm] (dem dazugehörigen Eigenwert) gestreckt ist. Die Menge aller Eigenvektoren und dem Nullvektor heißt Eigenraum. Es gibt zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor, so dass gilt [mm] Ab=\lambda*b
[/mm]
Nur welche Bedeutung hat der Eigenvektor? Warum macht man das?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 So 28.10.2007 | | Autor: | max3000 |
Die Definition vom Eigenvektor hast du ja schon.
Das ist ein Vektor für den
[mm] \lambda [/mm] existiert, so dass [mm] f(v)=\lambda [/mm] v
Das ganze brauchst du ja wie gesagt für den Eigenraum und damit kannst du zum Beispiel Darstellungsmatrizen diagonalisieren.
Gruß
Max
|
|
|
| |
|
Eigenvektoren haben nichts mit einer Basis zu tun, oder? Außer, dass ich die Eigenvektor für die Diagonalisierung einer Matrix brauche, haben sie sonst keine Bedeutung?
Wenn ich eine Matrix diagonalisiere könnte man dann direkt die Eigenwerte nehmen oder muss ich den Umweg über [mm] D=B^{-1}AB [/mm] nehmen? Wenn ich nämlich die Eigenwerte bestimme, dann weis ich noch nicht zu welcher Zeile (sprich zu welchem [mm] \alpha_{ii}) [/mm] welcher Eigenwert gehört.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 So 28.10.2007 | | Autor: | Rene |
Die Eigenwerte benötigst du zum Beispiel in der Mechanik. Die Wurzel der Eigenwerte der Schwingungsmatrizen zum Beispiel liefert die Eigenfrequenzen des Systems.
In der Festigkeitstheorie, sind die Eigenwerte des Spannungstensors gleich den Hauptspannungen.
In der Regelungstechnik sind die Eigenwerte eine Möglichkeit um ein System auf Stabilität zu prüfen.
Die Eigenvektoren bzw. der Eigenraum für symmetrische Matrizen, ermöglicht die Spektralzerlegung der Matrizen und somit eine Faktorisierung einer positive definiten bzw. positiv semi definiten Matrix.
Daraus folgen dann verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen, z.B. die Cholesky-Zerlegung!
MFG
|
|
|
|
