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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:39 Di 11.02.2014 | | Autor: | Nillex |
| Aufgabe | Wir definieren [mm] M:=\IR^2 [/mm] die folgende Relation:
[mm] R_1:=\{((a,b),(c,d)\in M x M : (a\le c)\} [/mm] ,
[mm] R_2:=\{((a,b),(c,d)\in M x M : (a\le c)\wedge (b \le d)\} [/mm] .
Überprüfen Sie R1, R2 auf Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität. |
Hallo erstmal,
ich würde mich freuen wenn mir hier jemand Helfen könnte :)
Definition:
Reflexiv:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X : xRx
Antisymmetrie:
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X : xRy [mm] \wedge [/mm] yRx [mm] \Rightarrow [/mm] x = y
Transitivität:
[mm] \forall [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] X : xRy [mm] \wedge [/mm] yRz [mm] \Rightarrow [/mm] xRz
Das ist mein Ansatz für R1:
ZZ: xRx
Da alle Zahlen frei wählbar aus R kommen, ausgenommen [mm] a\le [/mm] c
Diese aber doch gleich sein können, kann ich die Zahlen so wählen das sie Reflexiv sind.
zB.: (1,4) R (1,4)
(a,b) R (c,d)
Ist das richtig ? Oder sollte da (a,b) R (a,b) stehen und (c,d) ist hier egal ? Oder sollte man das ganze Tupel als x und das andere Tupel als y betrachten ? sprich x=(a,b) ?
Ich bin dankbar für jede Hilfe !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Di 11.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wir definieren [mm]M:=\IR^2[/mm] die folgende Relation:
> [mm]R_1:=\{((a,b),(c,d)\in M x M : (a\le c)\}[/mm] ,
> [mm]R_2:=\{((a,b),(c,d)\in M x M : (a\le c)\wedge (b \le d)\}[/mm]
> .
>
> Überprüfen Sie R1, R2 auf Reflexivität, Antisymmetrie
> und Transitivität.
>
>
> Hallo erstmal,
> ich würde mich freuen wenn mir hier jemand Helfen könnte
> :)
>
> Definition:
> Reflexiv:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X : xRx
> Antisymmetrie:
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] X : xRy [mm]\wedge[/mm] yRx [mm]\Rightarrow[/mm] x = y
> Transitivität:
> [mm]\forall[/mm] x,y,z [mm]\in[/mm] X : xRy [mm]\wedge[/mm] yRz [mm]\Rightarrow[/mm] xRz
>
>
> Das ist mein Ansatz für R1:
> ZZ: xRx
Zu zeigen: xR_1x für alle x [mm] \in \IR^2.
[/mm]
> Da alle Zahlen frei wählbar aus R kommen, ausgenommen
> [mm]a\le[/mm] c
> Diese aber doch gleich sein können, kann ich die Zahlen
> so wählen das sie Reflexiv sind.
Das ist doch Unsinn !
> zB.: (1,4) R (1,4)
> (a,b) R (c,d)
> Ist das richtig ? Oder sollte da (a,b) R (a,b) stehen und
> (c,d) ist hier egal ? Oder sollte man das ganze Tupel als x
> und das andere Tupel als y betrachten ? sprich x=(a,b) ?
>
> Ich bin dankbar für jede Hilfe !
Zur Reflexivität ist zu zeigen: ist (a,b) [mm] \in \IR^2, [/mm] so gilt: (a,b) [mm] R_1 [/mm] (a,b)
Ich behaupte, dass dies der Fall ist. Du sagst mir nun, warum.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Di 11.02.2014 | | Autor: | Nillex |
Zur Reflexivität ist zu zeigen: ist (a,b) $ [mm] \in \IR^2, [/mm] $ so gilt: (a,b) $ [mm] R_1 [/mm] $ (a,b).
An (a,b) ist keine Bedingung geknüpft und kann somit, mit sich selbst in Relation stehen (a,b) R (a,b) aufgrund von R x R.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Di 11.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zur Reflexivität ist zu zeigen: ist (a,b) [mm]\in \IR^2,[/mm] so
> gilt: (a,b) [mm]R_1[/mm] (a,b).
>
> An (a,b) ist keine Bedingung geknüpft und kann somit, mit
> sich selbst in Relation stehen (a,b) R (a,b) aufgrund von R
> x R.
Was ist los ?
Es gilt (a,b) [mm]R_1[/mm] (a,b) [mm] \gdw [/mm] a [mm] \le [/mm] a.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Di 11.02.2014 | | Autor: | Nillex |
Ahhh, da war schon mein erster Denkfehler, vielen Dank !
> Es gilt (a,b) [mm]R_1[/mm] (a,b) [mm]\gdw[/mm] a [mm]\le[/mm] a.
und weil a [mm]\le[/mm] a gilt, ist R1, Reflexiv.
Vielen Dank für die schnellen Antworten FRED !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Di 11.02.2014 | | Autor: | Nillex |
Ist die Reflexivität denn nun richtig ?
Nun zur Antisymmetrie:
(a,b) R (c,d) [mm] \wedge [/mm] (c,d) R (a,b) [mm] \Rightarrow [/mm] (a,b) = (c,d) [mm] \gdw a\le [/mm] c [mm] \wedge c\le [/mm] a somit wäre dies Antisymmetrisch ?
In meinen Unterlagen steht das dies nicht Antisymmetrisch sei, warum dies so ist, steht da nicht.
Transitivität:
(a,b) R (c,d) [mm] \wedge [/mm] (c,d) R (e,f) [mm] \Rightarrow [/mm] (a,b) R (e,f) [mm] \gdw a\le [/mm] c [mm] \wedge c\le [/mm] e [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \le [/mm] e.
Da das der Fall ist, ist die Transitivität bewiesen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Di 11.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ist die Reflexivität denn nun richtig ?
>
> Nun zur Antisymmetrie:
>
> (a,b) R (c,d) [mm]\wedge[/mm] (c,d) R (a,b) [mm]\Rightarrow[/mm] (a,b) =
> (c,d) [mm]\gdw a\le[/mm] c [mm]\wedge c\le[/mm] a somit wäre dies
> Antisymmetrisch ?
nein.
> In meinen Unterlagen steht das dies nicht Antisymmetrisch
> sei, warum dies so ist, steht da nicht.
Es ist z.B. (1,2) [mm] R_1 [/mm] (1,3) und (1,3) [mm] R_1 [/mm] (1,2), aber (1,2) [mm] \ne [/mm] (1,3)
>
> Transitivität:
> (a,b) R (c,d) [mm]\wedge[/mm] (c,d) R (e,f) [mm]\Rightarrow[/mm] (a,b) R
> (e,f) [mm]\gdw a\le[/mm] c [mm]\wedge c\le[/mm] e [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\le[/mm] e.
> Da das der Fall ist, ist die Transitivität bewiesen.
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Di 11.02.2014 | | Autor: | Nillex |
> Es ist z.B. (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,3) und (1,3) [mm]R_1[/mm] (1,2), aber (1,2)
> [mm]\ne[/mm] (1,3)
Aber b und d können doch hier auch den gleichen Wert annehmen, also
(1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2) und (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2) ?
Gruß Nils
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Di 11.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist z.B. (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,3) und (1,3) [mm]R_1[/mm] (1,2), aber (1,2)
> > [mm]\ne[/mm] (1,3)
>
> Aber b und d können doch hier auch den gleichen Wert
> annehmen, also
> (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2) und (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2) ?
Ja, das können sie. Und was ist nun Dein Problem ?
FRED
>
> Gruß Nils
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Di 11.02.2014 | | Autor: | Nillex |
Ja, dann ist doch
(1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2) und (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2), (1,2) = 1,2) und somit ist das doch Antisymmetrisch ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Di 11.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja, dann ist doch
> (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2) und (1,2) [mm]R_1[/mm] (1,2), (1,2) = 1,2) und
> somit ist das doch Antisymmetrisch ?
Ich glaube, Du hast nicht kapiert, wann eine Relation "antisymmetrisch" ist:
Eine Relation R heisst antisymmetrisch, wenn aus
$xRy $ und $ yRx $ stets (!) folgt: x=y.
Bei obiger Relation [mm] R_1 [/mm] haben wir mit x=(1,2) und y=(1,3):
[mm] $xR_1 [/mm] y $ und $ yR_1x $
Aber es ist x [mm] \ne [/mm] y.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Di 11.02.2014 | | Autor: | Nillex |
Ne, das wusste ich wirklich nicht.... danke für deine Antworten, du hast mir sehr geholfen !
Gruß Nils
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